Кільце Гензеля

Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце для якого виконується лема Гензеля. Цей клас кілець ввів японський математик Горо Азумайа^[1], який назвав їх на честь Курта Гензеля.

Для кожного локального кільця можна отримати гензелеве кільце за допомогою процедури гензелізації. У комутативній алгебрі гензелізація часто замінює операцію поповнення, що відіграє важливу роль при локальному дослідженні об'єктів. В теорії етальних морфізмів і етальної топології гензелева R-алгебра розглядається як індуктивна границя етальних розширень кільця.

Означення

Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце R, для якого виконується лема Гензеля. Для локального кільця із максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ цю умову можна сформулювати так, що для будь-якого многочлена ${\displaystyle P(X)\in R[X]}$ і простого розв'язку ${\displaystyle a_{0}\in R}$ рівняння P(X) = 0 по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, тобто ${\displaystyle P(a_{0})\in {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle P(a_{0})\not \in {\mathfrak {m}}}$ існує ${\displaystyle a\in R}$, для якого ${\displaystyle P(a)=0}$ і ${\displaystyle a\equiv a_{0}\mod {\mathfrak {m}}.}$.

Кільце Гензеля можна характеризувати як кільце, над яким будь-яка скінченна алгебра є прямим добутком локальних кілець.

Кільце Гензеля із сепарабельним замкнутим полем лишків називається строго гензелевим через локальність його спектра в етальній топології схем.

Приклади

• Повні локальні кільця.
• Кільця збіжних степеневих рядів (і в більш загальному сенсі, аналітичні кільця),
• Кільце алгебричних степеневих рядів (тобто формальні степеневі ряди ${\displaystyle k[[X_{1},...,X_{n}]],}$ що є алгебричними над ${\displaystyle k[X_{1},...,X_{n}]}$).

Властивості

• Локальне кільце, ціле над кільцем Гензеля, є кільцем Гензеля; зокрема, фактор-кільце кільця Гензеля є кільцем Гензеля.
• Кільце R є гензелевим тоді і тільки тоді, коли асоційоване редуковане кільце R_red (фактор-кільце за нільрадикалом) є кільцем Гензеля.

Гензелізація

Для будь-якого локального кільця R існує універсальна конструкція — локальна гензелева R-алгебра R^h, така що для будь-якої локальної гензелевої R-алгебри B існує єдиний гомоморфізм R-алгебр ${\displaystyle R^{h}\to B.}$

R^h називається гензелізацією кільця R. Гензелізація задовольняє властивості:

• Алгебра R^h локального кільця R є строго плоским R-модулем.
• Ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}R^{h}}$ буде максимальним ідеалом алгебри ${\displaystyle R^{h}}$,
• Поля лишків R і R^h є канонічно ізоморфними,
• Поповнення кілець R і R^h (в топологіях локальних кілець) є ізоморфними.
• Якщо R є нетерівським (відповідно редукованим, нормальним, регулярним, чудовим) кільцем, то таким же буде і R^h.
• Якщо R — область цілісності, то R^h може не бути областю цілісності; більш точно, є бієктивна відповідність між максимальними ідеалами цілого замикання кільця R і мінімальними простими ідеалами у R^h.

Аналогічно конструкції побудови гензелевої R-алгебри R^h існує функтор строгої гензелевої R-алгебри R^sh.