Кільце Коена — Маколея

У комутативній алгебрі кільцями Коена — Маколея називається клас комутативних кілець, що є зокрема важливим у алгебричній геометрії, завдяки властивостям локальної рівнорозмірності. Названі на честь англійського математика Френсіса Маколея і американського математика Ірвінга Коена.

Означення

Комутативне локальне нетерове кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює його розмірності ${\displaystyle \dim R}$.

Еквівалентне означення можна дати в термінах регулярної послідовності, тобто послідовності елементів ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}\in R}$ де для всіх ${\displaystyle i}$ елемент ${\displaystyle a_{i}}$ не є дільником нуля у кільці ${\displaystyle R/(a_{1},\ldots ,a_{i})}$. Локальне кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо існує регулярна послідовність для якої фактор-кільце є кільцем Артіна. Довжина цієї регулярної послідовності є рівною глибині кільця і його розмірності Круля.

Також кільця Коена — Маколея можна охарактеризувати тим, що групи ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)\neq 0}$ і групи локальних когомологій ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(R)}$ рівні нулю для всіх ${\displaystyle i<\dim R}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — максимальний ідеал, a ${\displaystyle k}$ — поле лишків ${\displaystyle R}$.

Нетерове кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ локалізація кільця ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є кільцем Коена — Маколея. Аналогічно довільна схема ${\displaystyle X}$ називається схемою Коена — Маколея якщо для будь-якої точки локальне кільце у цій точці є кільцем Коена — Маколея.

Приклади

• Регулярне локальне кільце (і, взагалі, будь-яке кільце Горенштейна) є кільцем Коена — Маколея;
• будь-яке артинове кільце;
• будь-яке одновимірне редуковане кільце;
• будь-яке двовимірне нормальне кільце є кільцем Коена — Маколея.
• Кільце многочленів або формальних степеневих рядів над полем чи над будь-яким кільцем Коена — Маколея.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал в локальному кільці Коена — Маколея ${\displaystyle R}$, то для його висоти виконується співвідношення

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}})=\operatorname {dim} R.}$

Зокрема, локальне кільце Коена — Маколея є рівнорозмірним і ланцюговим.

• Одним із найважливіших результатів теорії кілець Коена — Маколея є теорема про незмішаність. Ця теорема була доведена Маколеєм для кільця многочленів і Коеном для кільця формальних степеневих рядів, що дало назву усьому класу кілець. Нехай ${\displaystyle R}$ — d-вимірне кільце Коена — Маколея, ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}\in R}$ — послідовність елементів з ${\displaystyle R}$ для яких ${\displaystyle \operatorname {dim} R/(a_{1},\ldots ,a_{k})=d-k}$. Тоді ця послідовність є регулярною, і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})}$ є незмішаним, тобто будь-який простий ідеал, асоційований з ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ має висоту ${\displaystyle k}$ і ковисоту ${\displaystyle d-k}$.

• Локальне кільце є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли кільцем Коена — Маколея є його поповнення;
• Якщо ${\displaystyle R}$ є локальним кільцем Коена — Маколея, то і кільце ${\displaystyle R/(a_{1},\ldots ,a_{k})}$, де ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ — регулярна послідовність, є кільцем Коена — Маколея;
• Локалізація локального кільця Коена — Маколея (в першому означенні) по простому ідеалу знову є кільцем Коена — Маколея. Ця властивість зокрема робить несуперечливим означення для довільних нетерових кілець.
• Кільце Коена — Маколея стабільні і при переході до кілець інваріантів. Якщо ${\displaystyle G}$ — скінченна група, що діє на кільці Коена — Маколея ${\displaystyle R}$ і її порядок є оборотним у ${\displaystyle R}$, то кільце інваріантів ${\displaystyle R^{G}}$ є кільцем Коена — Маколея.
• Критерій Хіронаки. Нехай ${\displaystyle R}$ — локальне кільце, що є скінченнопородженим модулем над деяким регулярним локальним кільцем ${\displaystyle A\subset R}$. Такі підкільця завжди існують, наприклад, для локалізації скінченнопородженої алгебри над полем по простому ідеалу (згідно нормалізаційної леми Нетер); вони також існують коли ${\displaystyle R}$ є повним кільцем, що містить поле або повною областю цілісності.^[1] При цих умовах ${\displaystyle R}$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли воно є плоским A-модулем; еквівалентно, якщо ${\displaystyle R}$ є вільним A-модулем.^[2]
• Нехай ${\displaystyle u}$ — елемент нетерового локального кільця ${\displaystyle R}$, що не є дільником нуля і належить максимальному ідеалу. Тоді ${\displaystyle R}$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли${\displaystyle R/(u)}$ є кільцем Коена — Маколея.^[3]

Модулі Коена — Маколея

Скінченнопороджений модуль ${\displaystyle M}$ над локальним нетеровим кільцем ${\displaystyle R}$називається модулем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює розмірності.

На модулі Коена — Маколея поширюються багато результатів про кільце Коена — Маколея. Наприклад, носій такого модуля є рівнорозмірним.

Для будь-якого асоційованого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M}$виконується рівність ${\displaystyle \operatorname {depth} M=\operatorname {dim} M=\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}.}$ Звідси випливає також, що кожен елемент ${\displaystyle \operatorname {Ass} M}$ є мінімальним і також елементом носія модуля.

У модулів Коена — Маколея кожна система параметрів є регулярною послідовністю. Системою параметрів називається послідовність елементів ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, які належать максимальному ідеалу кільця ${\displaystyle R}$, де ${\displaystyle n=\operatorname {dim} R}$і модуль ${\displaystyle M/(a_{1},\ldots ,a_{n})M}$ має скінченну довжину. Навпаки, якщо для ${\displaystyle M}$ кожна система параметрів є регулярною, то ${\displaystyle M}$ є модулем Коена — Маколея.

Якщо ${\displaystyle M}$ є R-модулем Коена — Маколея і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал у ${\displaystyle R}$, то локалізація ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ є ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$- модулем Коена — Маколея.

Існує гіпотеза, що для будь-якого повного локального кільця існує модуль Коена — Маколея ${\displaystyle M}$ такий, що ${\displaystyle \dim M=\dim A}$.