Кільце Круля

Кільце Круля — комутативна область цілісності R, для якої виконуються умови. Якщо ${\displaystyle P}$ множина простих ідеалів висота яких рівна одиниці то:

1. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є кільцем дискретного нормування для всіх ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$,
2. Кожен ненульовий головний ідеал є перетином скінченної кількості примарних ідеалів висоти один.

Кільця Круля були розглянуті Вольфгангом Крулем під назвою кілець скінченного дискретного головного порядку^[1]. Вони є найприроднішим класом кілець, в яких існує теорія дивізорів.

Приклади

• Будь-яке цілозамкнуте кільце Нетер, зокрема кільце Дедекінда, є кільцем Круля.
• ${\displaystyle \ R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$ кільце многочленів від нескінченної кількості змінних є прикладом кільця Круля, що не є нетеровим.
• Будь-яке факторіальне кільце є кільцем Круля. Для того, щоб кільце Круля було факторіальним, необхідно і достатньо, щоб будь-який його простий ідеал висоти 1 був головним.

Властивості

• Кільце Круля є цілком цілозамкнутим.
• Клас кілець Круля замкнутий щодо операцій локалізації, переходу до кільця многочленів або формальних степеневих рядів, а також цілого замикання в скінченному розширенні поля часток.