Кінематичні змінні Мандельштама

Кінематичні змінні Мандельштама — три скалярні релятивістські інваріантні величини, що зберігаються в процесі розсіяння двох елементарних частинок з утворенням двох нових або збереженням двох старих елементарних частинок, або в процесі розпаду однієї елементарної частинки на три. Зазвичай ці змнні позначаються як ${\displaystyle s,t,u}$. Їх було введено Стенлі Мандельштамом у 1958 році.^[1] Процес розсіяння можна повністю описати, якщо задати значення лише двох змінних Мандельштама, кожна із них дорівнюватиме квадрату повної енергії котроїсь із пар частинок у системі відліку, де їх центр мас перебуває в спокої.^[2]

На цій діаграмі, дві частинки рухаються із імпульсами p₁ і p₂, після взаємодії (розсіяння) розлітаються дві частинки з іншими імпульсами (p₃ і p₄).

Визначення

Розглядається процес розсіяння двох елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$  і утворенням після взаємодії двох нових чи збереження двох старих елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$. Залежність між енергією і масою мають вигляд:

${\displaystyle \!p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}}$,

де ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — метричний тензор.

У метриці Мінковського з сигнатурою (1, -1,-1,-1)

${\displaystyle m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-\mathbf {p} _{i}^{2}c^{2}}$,

або ж в релятивістських одиницях ${\displaystyle (c=1)}$:

${\displaystyle m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-\mathbf {p} _{i}^{2}}$.

Тут ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ — тривимірний імппульс i-тої частинки.

Тут ${\displaystyle i=1,2,3,4}$ — індекс елементарної частинки. Збереження кожної компоненти енергії-імпульсу представляється рівнянням: ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$. Із цієї рівності можна отримати три змінних Мандельштама в релятивістських одиницях:

• ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,}$
• ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}\,}$
• ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\,}$

Властивості

Змінні Мандельштама пов'язані рівністю:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$.  

Для доведення використаємо дві інші рівності:

• Квадрати 4-імпульсів дорівнюють квадратам мас:

${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\,}$

• Збереження 4-імпульсу:

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}\,}$

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\,}$

Таким чином:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\,}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}\,}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}\,}$

Просумувавши і підставивши квадрати мас:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}\,}$

Останні чотири доданки дорівнюють нулю в силу збереження 4-імпульсу:

${\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0\,}$

Отже:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,}$

Діаграми Фейнмана

Літери ${\displaystyle s,t,u}$ також використовуються в означенні каналів розсіяння ${\displaystyle s}$-канал (просторовий канал), ${\displaystyle t}$-канал (часовий канал), ${\displaystyle u}$-канал. Ці канали відповідають різним діаграмам Фейнмана чи різним можливим типам розсіяння, в якому взаємодія відбувається завдяки обміну проміжними (іноді їх називають віртуальними) частинками, чиї квадрати 4-імпульсів дорівнюють ${\displaystyle s,t,u}$, відповідно.

${\displaystyle s}$-канал	${\displaystyle t}$-канал	${\displaystyle u}$-канал

:

Наприклад, ${\displaystyle s}$-канал відповідає розсіянню, в якому частинки 1 і 2 об'єднуються у проміжну частинку, яка врешті розпадається на частинки 3, 4: ${\displaystyle s}$-канал є єдиним способом виявити резонанси і нові нестабільні частинки за умови, що їхній час життя є достатньо довгим для прямого детектування. ${\displaystyle t}$-канал відповідає процесу, в якому частинка 1 випромінює проміжну частинку і стає в кінці частинкою 3, в той час як частинка 2 поглинає цю проміжну частинку і стає частинкою 4. ${\displaystyle u}$-канал — це ${\displaystyle t}$-канал, у якому частинки 3 і 4 помінялися місцями.