Локально скінченна група

У математиці, в галузі теорії груп, локально скінченна група — це група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп. Як і для скінченних груп, для локально скінченних груп вивчаються підгрупи Силова, підгрупи Картера тощо.

Визначення

Найчастіше використовуються такі визначення:

Локально скінченною групою називають групу, кожна скінченно породжена підгрупа якої є скінченною.

Локально скінченною групою називають групу, в якої кожна скінченна підмножина міститься в скінченній підгрупі.

Ці визначення рівносильні.

Приклади

• Скінченна група є локально скінченною.
• Пряма сума скінченних груп є локально скінченною^[1].
• Квазициклічна група є локально скінченною.
• Гамільтонова група є локально скінченною.
• Періодична лінійна група є локально скінченною^[2].
• Розв'язна періодична група є локально скінченною.

Властивості

Теорема Шмідта: клас локально скінченних груп замкнутий відносно взяття підгруп, фактор-груп і розширень^[3].

Кожна група має єдину максимальну локально скінченну підгрупу^[4].

Будь-яка нескінченна локально скінченна група містить нескінченну абелеву підгрупу^[5].

Якщо локально-скінченна група містить скінченну максимальну p-підгрупу, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені, причому, якщо їх кількість скінченна, то вона порівнянна з 1 за модулем p (див. також Теореми Силова).

Якщо кожна зліченна підгрупа локально скінченної групи містить не більш ніж зліченну кількість максимальних p-підгруп, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені^[3].

Див. також

• Задача Бернсайда
• Скінченна p-група