Загальна лінійна група

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ називається четвірка ${\displaystyle \left(U_{n}(R),\cdot ,{}^{-1},I\right)}$, де:

• ${\displaystyle R}$ є асоціативним кільцем з одиницею,
• ${\displaystyle U_{n}(R)}$ — оборотні матриці порядку ${\displaystyle n}$ над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle F}$, то загальною лінійною групою лінійного простру ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ або ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ називається група всіх автоморфізмів ${\displaystyle V}$, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень ${\displaystyle V\to V}$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність ${\displaystyle \dim V=n}$, то ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ і ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ${\displaystyle V}$. Якщо ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ — базис, і автоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$, маємо

${\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}$

для деяких констант ${\displaystyle a_{jk}\in K}$. Матриця, відповідна ${\displaystyle T}$ має елементами ${\displaystyle a_{jk}}$.

Визначники

Матриця є оборотна над полем ${\displaystyle F}$, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця ${\displaystyle R}$ маємо: матриця над ${\displaystyle R}$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в ${\displaystyle R}$. Отже, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Сюди перенаправляється запит «Спеціальна лінійна група». На цю тему потрібна окрема стаття.

Спеціальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку ${\displaystyle n}$ з елементами поля ${\displaystyle K}$, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$.

Примітки

• Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
• Спеціальну лінійну групу ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо ${\displaystyle K}$ є скінченним полем з ${\displaystyle q}$ елементами, іноді використовується запис ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$.

Порядок

Порядок групи ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})}$.

Для прикладу, порядок ${\displaystyle \operatorname {(} GL)(3,2)}$ рівний (8 — 1) (8 — 2) (8 — 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи ${\displaystyle \mathbb {(} Z)_{2}^{3}}$

Аналогічні формули для ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$:

${\displaystyle |\operatorname {SL} (n,K)|={1 \over q-1}\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})}$.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ то група ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ не є абелевою.^[1]
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ є нормальною підгрупою ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K).}$^[2]
• Нехай ${\displaystyle K^{*}}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}}$.

• ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ є напівпрямим добутком ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}}$

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,K)}$ і проектні спеціальні лінійні групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,K)}$ є факторгрупами ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ і ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група ${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)}$ — розширення ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n}}$. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Див. також

• Залишково скінченна група