Лічильна міра

Лічильна міра в функціональному аналізі — це формальний еквівалент кількості елементів множини.

Визначення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ — вимірний простір, такий що будь-яка точка ${\displaystyle x\in X}$ є вимірною множиною, тобто ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {F}}}$. Тоді міра ${\displaystyle \mu }$, визначена так: ${\displaystyle \mu (A)=\vert A\vert }$ — кількість елементів в ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle A}$ — скінченна множина, і ${\displaystyle \infty }$, якщо ${\displaystyle A}$ нескінченна, називається лічильною мірою.

Зауваження

• Очевидно, що лічильна міра скінченна, коли ${\displaystyle \vert X\vert <\infty }$, і нескінченна в іншому випадку.
• Якщо ${\displaystyle X}$ — зліченна множина, то лічильна міра σ-скінченна.