Метрика Райснера — Нордстрема

Метрика Райснера — Нордстрема — статичний розв'язок рівнянь поля Ейнштейна — Максвелла, що відповідає гравітаційному полю зарядженого, не обертового, сферично-симетричного тіла масою M. Аналогічний розв'язок для зарядженого тіла, що обертається, дає метрика Керра — Ньюмена.

Метрику відкрито між 1916 і 1921 роками. Незалежно один від одного її відкрили^[1] Ганс Райснер^[2], Герман Вейль^[3], Гуннар Нордстрем^[en][4] і Джордж Баркер Джеффрі^[en][5].

Метрика

У сферичних координатах ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$, метрика Райснера — Нордстрема дається виразом ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$ де ${\displaystyle c}$ це швидкість світла, ${\displaystyle \tau }$ — власний час, ${\displaystyle t}$ — координата часу (вимірюється стаціонарним годинником на нескінченності), ${\displaystyle r}$ — радіальна координата, ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ — сферичні кути, ${\displaystyle r_{\text{s}}}$ — радіус Шварцшильда тіла, заданий як ${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$ а ${\displaystyle r_{Q}}$ — інший характерний масштаб довжини, заданий формулою ${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$ Тут ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — електрична стала.

Загальна маса центрального тіла та його незвідна маса ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$ пов'язані співвідношенням^[6][7] ${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$

Різниця між ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$ обумовлена внеском у загальну масу від енергії електричного поля (див. також еквівалентність маси та енергії).

В граничному випадку, коли заряд ${\displaystyle Q}$ (або, що еквівалентно, шкала довжини ${\displaystyle r_{Q}}$) прямує до нуля, метрика Райснера — Нордстрема переходить у метрику Шварцшильда. Класична ньютонівська теорія гравітації реалізується у випадку, коли відношення ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ прямує до нуля. А у випадку, коли і ${\displaystyle r_{Q}/r}$, і ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ обидва прямують до нуля, метрика стає метрикою Мінковського для спеціальної теорії відносності.

Заряджені чорні діри

Хоча заряджені чорні діри з r_Q ≪ r_s подібні до чорної діри Шварцшильда, вони мають два горизонти: горизонт подій і внутрішній горизонт Коші^[8]. Як і у випадку з метрикою Шварцшильда, горизонти подій для простору-часу розташовані там, де компонент метрики ${\displaystyle g_{rr}}$ розходиться; тобто де

$${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Це рівняння має два розв'язки:

$${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Ці концентричні горизонти подій стають виродженими для 2r_Q = r_s, що відповідає екстремальній чорній дірі. Чорні діри з 2r_Q > r_s не можуть існувати в природі, оскільки для них не може бути фізичного горизонту подій (член під квадратним коренем стає від'ємним)^[9]. У природі можуть існувати об'єкти із зарядом, що перевищує їхню масу (у безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1), але вони не можуть колапсувати до чорної діри, а якби могли, вони б мали голу сингулярність. Суперсиметричні теорії зазвичай гарантують, що такі «суперекстремальні» чорні діри не можуть існувати.

Електромагнітний потенціал має вигляд

$${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Гравітаційне уповільнення часу

Гравітаційне уповільнення часу в околицях центрального тіла визначається як $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$$

що дозволяє розрахувати локальною радіальну швидкість вильоту нейтральної частинки $${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

Символи Крістофеля

Символи Крістофеля $${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$$ з індексами $${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$$ мають ненульові компоненти $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&=-{\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$$

Враховуючи символи Крістоффеля, можна обчислити геодезичні пробної частинки^[10][11].

Тетрадна форма

Замість того, щоб працювати в голономному базисі, можна виконувати ефективні обчислення за допомогою тетради^[en][12]. Нехай ${\displaystyle {\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}}$ буде набором один-форм із внутрішнім індексом Мінковського ${\displaystyle I\in \{0,1,2,3\}}$, так що ${\displaystyle \eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }}$. Метрику Райснера можна описати за допомогою тетради

${\displaystyle {\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt}$ ,

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr}$ ,

${\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta }$

${\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi }$

де ${\displaystyle G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}}$. Паралельне перенесення тетради виражається один-формою зв'язності^[en] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }}$. Ці формули мають лише 24 незалежні компоненти порівняно з 40 компонентами ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$. Зв'язки можна визначити шляхом аналізу рівняння Картана ${\displaystyle d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$, де ліва частина — зовнішня похідна тетради, а права — зовнішній добуток.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi }$

Тензор Рімана ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}}$ можна побудувати як сукупність два-форм за допомогою другого рівняння Картана ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},}$ що знову ж таки використовує зовнішню похідну та зовнішній добуток. Цей підхід значно швидший, ніж традиційне обчислення через ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$; зауважте, що є лише чотири ненульових значення ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$ проти дев'яти ненульових компонент ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$.

Рівняння руху

Через сферичну симетрію метрики систему координат завжди можна орієнтувати таким чином, що рух пробної частинки відбувався в даній площині, тому для стислості та без обмеження загальності ми використовуємо θ замість φ. У безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1 рух електрично зарядженої частинки із зарядом q задається формулою^[13] $${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$$що дає $${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$$${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Усі повні похідні взяті за власним часом, ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$.

Константи руху задаються розв'язками ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$ рівняння в частинних похідних^[14] $${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}}$$після заміни других похідних, наведених вище. Сама метрика є розв'язком, якщо її записати як диференціальне рівняння $${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$$

Рівняння з відокремлюваними змінними$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$$негайно дає сталий релятивістський питомий кутовий момент $${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$Третя константа інтегрування, отримана з рівняння$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$$є питомою енергією (енергією на одиницю маси спокою)^[15] $${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$$

Підставляючи ${\displaystyle S_{2}}$ і ${\displaystyle S_{3}}$ в ${\displaystyle S_{1}}$, отримуємо радіальне рівняння $${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Множення під знаком інтеграла на ${\displaystyle S_{2}}$ дає рівняння орбіти $${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Загальне уповільнення часу між пробною частинкою та спостерігачем на нескінченності становить $${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}$$

Перші похідні ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ і контраваріантні компоненти локальної 3-швидкості ${\displaystyle v^{i}}$ пов'язані між собою формулою $${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$що дає початкові умови $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$$$${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

Питома орбітальна енергія $${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$$і питомий відносний кутовий момент $${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$пробної частинки є інтегралами руху. ${\displaystyle v_{\parallel }}$ і ${\displaystyle v_{\perp }}$ — радіальна та поперечна складові локального вектора швидкості. Тому локальна швидкість дорівнює $${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Альтернативне формулювання метрики

Метрику можна виразити у формі Керра — Шилда^[en] в такий спосіб: $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$$

Зауважте, що k — одиничний вектор. Тут M — стала маса об'єкта, Q — сталий заряд об'єкта, а η — тензор Мінковського.

Квантово-гравітаційні поправки до метрики

У деяких підходах до квантової гравітації до класичної метрики Райснера–Нордстрема додають квантові поправки. Прикладом цього є підхід до теорії ефективного поля, започаткований Барвінським і Вілковіським^{[16][17][18][19]}. У другому порядку кривини класична дія Ейнштейна-Гільберта доповнюється локальними та нелокальними членами:

${\displaystyle \Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},}$

де ${\displaystyle \mu }$ є енергетичною шкалою. (Тут ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }}$ скорочується з ${\displaystyle R^{\mu \nu \rho \sigma }}$, а скорочується з ${\displaystyle R^{\mu \nu }}$.) Точні значення коефіцієнтів ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ невідомі, оскільки вони залежать від природи ультрафіолетової теорії квантової гравітації. З іншого боку, коефіцієнти ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ піддаються обчисленню^[20]. Оператор ${\displaystyle \ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)}$ має інтегральне представлення

${\displaystyle \ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).}$

Нові додаткові члени в дії передбачають модифікацію класичного рішення. Скоригована квантовими ефектами метрика Райснера–Нордстрема до членів порядку ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G^{2})}$ була знайдена Кампосом Дельгадо^[21]:

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},}$

де

${\displaystyle f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},}$

${\displaystyle g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.}$