Многочлени Бернуллі

У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі ${\displaystyle \ [0,1]}$ не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Подібний набір многочленів, заснований на твірній функції, називають сімейством многочленів Ейлера.

Визначення

Многочлени Бернуллі ${\displaystyle \ B_{n}(x)}$ можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

Явна формула

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}}$, де ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — біноміальні коефіцієнти, ${\displaystyle \ B_{k}}$ — числа Бернуллі.

Або

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.}$

Генератриса

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Генератриса для многочленів Ейлера рівна:

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Представлення диференціальним оператором

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$, де ${\displaystyle }$ — оператор формального диференціювання.

Визначення за допомогою інтегрального оператора

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$

Інтегральний оператор

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й

${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}$

Явний вигляд для найменших степенів

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

${\displaystyle \ B_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}$

${\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}$

${\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}$

${\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}$

Властивості

Значення в нулі

Значення многочленів Бернуллі при ${\displaystyle \ x=0}$ рівні відповідним числам Бернуллі:

${\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}$.

Диференціювання і інтегрування

${\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}$.

Невизначені інтеграли:

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}$

Визначені інтеграли:

${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad m,n\geq 1}$

Множення аргументу

${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)}$.

Сума аргументу

${\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}$

Симетрія

${\displaystyle \ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),}$

${\displaystyle \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.}$

Ряд Фур'є

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

Обертання

${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$

Посилання

• Kurtulan, Ali Burak "Bernoulli Polynomials and Their Applications"^{[недоступне посилання з липня 2019]}

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.