Модель Зінера

Моде́ль Зі́нера (модель стандартного лінійного тіла) — реологічна модель лінійного в'язкопружного тіла, що складається з двох пружних елементів E₁ і E₂ та в'язкого елемента η. Для опису властивостей в'язкопружних тіл часто використовуються модель Максвелла і модель Кельвіна-Фойгта^[1] . Цих моделей часто виявляється недостатньо. Так модель Максвелла не описує повзучості а модель Кельвіна-Фойгта не описує релаксацію напружень. Модель Зінера є найпростішою моделлю, яка передбачає ці явища.

Реологічна модель стандартного лінійного тіла (модель Зінера)

Основні характеристики

Елементи сполучені, як показано на рисунку. Модель складається з двох паралельно сполучених систем. Перша є моделлю Максвелла, що містить пружину (${\displaystyle E=E_{2}}$) і в'язкий елемент із в'язкістю ${\displaystyle \eta }$, сполучених послідовно^[1]. Друга гілка складається з однієї пружини (${\displaystyle E=E_{1}}$).

Математичний опис моделі

Для кожного пружного елемента запишемо закон Гука, а для в'язкого — закон в'язкого тертя Ньютона. Разом з умовами розподілу напружень (σ) і деформацій (ε) запишемо для моделі чотири рівняння:

${\displaystyle \sigma _{1}=E_{1}\epsilon _{1}}$;

${\displaystyle \sigma _{2}=E_{2}\epsilon _{2}=\eta {\dot {\epsilon _{\eta }}}}$;

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}+\sigma _{2}}$;

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{1}=\epsilon _{2}+\epsilon _{\eta }}$;

Використовуючи ці співвідношення, їх похідні по часу, система може бути описана наступним рівнянням:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^[2]

Це рівняння також може бути подане у вигляді:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}=\left(E_{1}+E_{2}\right)^{-1}\cdot \left[{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+{\frac {E_{2}}{\eta }}\sigma (t)-{\frac {E_{1}E_{2}}{\eta }}\varepsilon (t)\right]}$

Час релаксації, ${\displaystyle \tau }$, є властивістю кожного матеріалу і визначається відношенням:

${\displaystyle {\frac {\eta }{E_{2}}}=\tau }$

Застосування моделі

Модель лінійного в'язкопружного тіла поєднує в собі властивості моделей Максвелла і Кельвіна-Фойгта, що дає можливість точніше описати загальну поведінку системи в заданих умовах навантаження. Поведінка матеріалу в умовах швидкого прикладання навантаження характеризуватись миттєвим значенням деформації. Зростання швидкості прикладання навантаження супроводжується зменшенням залишкової деформації при руйнуванні, що модель і описує. Форма кривої часової залежності деформації також вірно описується моделлю у залежності від швидкості прикладання навантаження.

Хоча ця модель може бути використана для точного прогнозування загальної форми кривої деформації, а також поведінку матеріалу протягом тривалого у часі чи миттєвого прикладання навантаження, модель не описує ці властивості кількісно.

Див. також

• Модель Кельвіна — Фойгта
• Модель Максвелла