Міжнародне геомагнітне аналітичне поле

Міжнародне геомагнітне аналітичне поле (IGRF, від англ. International Geomagnetic Reference Field) — міжнародна модель^[1] або серія моделей^[2] середнього глобального магнітного поля Землі, що враховує його вікову варіацію.

Модуль вектора магнітного поля для IGRF2005

Визначення

Вектор магнітного поля B визначається через градієнт деякого скалярного потенціалу, заданого в геоцентричних координатах:

${\displaystyle \mathbf {B} =-\operatorname {grad} V=-\left\{{\frac {\partial V}{\partial r}};{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }};{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V}{\partial \lambda }}\right\},}$

де одиничні вектори ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda },\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{r}}$ спрямовані в бік збільшення довготи, широти і до центру Землі (протилежно до збільшення вектора відстані) відповідно.

Сам потенціал V визначається через розкладання за сферичними гармоніками:

${\displaystyle V(r,\lambda ,\theta ,t)=a\sum _{\ell =1}^{L}\sum _{m=0}^{\ell }\left({\frac {a}{r}}\right)^{\ell +1}\left(g_{\ell }^{m}(t)\cos m\lambda +h_{\ell }^{m}(t)\sin m\lambda \right)P_{\ell }^{m}\left(\cos \theta \right),}$

де ${\displaystyle r}$ — геоцентрична відстань,

${\displaystyle \lambda }$ — геоцентрична довгота,

${\displaystyle \theta }$ — геоцентрична полярна відстань (коширота)^[3],

${\displaystyle a}$ — середній екваторіальний радіус Землі, що дорівнює 6371,2 км,

${\displaystyle t}$ — час,

${\displaystyle P_{\ell }^{m}\left(\cos \theta \right)}$ — приєднані поліноми Лежандра, нормовані за правилом Шмідта,

${\displaystyle g_{\ell }^{m}}$ і ${\displaystyle h_{\ell }^{m}}$ — коефіцієнти Гаусса, що визначаються спеціальною групою Working Group V-MOD Міжнародної асоціації геомагнетизму та аерономії^[en] (IAGA) на основі вимірів наземних станцій, кораблів, літаків і штучних супутників Землі.

Набір коефіцієнтів Гаусса повністю визначає описувану модель геомагнітного поля. В сучасних моделях розкладання обмежується коефіцієнтами від 1-го до 13-го степеня і від 0-го до 13-го порядку (в прогностичній варіації від 1-го до 8-го і від 0-го до 8-го відповідно), округлених до 0,1 нТл . Модель не описує дрібномасштабних просторових варіацій магнітного поля, які переважно зумовлені локальним магнетизмом земної кори. Кутову роздільність моделі можна оцінити як ${\displaystyle 360^{\circ }/{\sqrt {13\cdot 14}}\approx 27^{\circ },}$ що відповідає довжині дуги великого кола ~3000 км.

• 
• 
• 
• 
  Модуль вектора (IGRF-10), вгорі - основне поле, внизу - варіація
• 
  I-компонента (IGRF-10), вгорі - основне поле, внизу - варіація
• 
  D-компонента (IGRF-10), вгорі - основне поле, внизу - варіація

Історія

Математична модель магнітного поля Землі, виражена вищенаведеною формулою розкладання потенціалу за сферичними гармоніками, була розвинена К. Гауссом 1838 року в його роботі «Загальна теорія земного магнетизму»^[4]. У цій же публікації Гаусс на підставі магнітних вимірювань у 91 пункті земної кулі вперше вивів набір коефіцієнтів розкладання геомагнітного поля, аналогічний сучасній моделі IGRF^[5].

Модель IGRF налічує 12 поколінь, останнє затверджене відноситься до 2015 року^[6].

Історія поколінь^[1]

Назва	Застосовна до періоду	На основі вимірювань у період	Рік випуску
IGRF-12	1900.0-2020.0		2015
IGRF-11	1900.0-2015.0	1945.0-2005.0	2010
IGRF-10	1900.0-2010.0	1945.0-2000.0	2005
IGRF-9	1900.0-2005.0	1945.0-2000.0	2003
IGRF-8	1900.0-2005.0	1945.0-1990.0	2000
IGRF-7	1900.0-2000.0	1945.0-1990.0	1997
IGRF-6	1945.0-1995.0	1945.0-1985.0	1992
IGRF-5	1945.0-1990.0	1945.0-1980.0	1988
IGRF-4	1945.0-1990.0	1965.0-1980.0	1987
IGRF-3	1965.0-1985.0	1965.0-1975.0	1982
IGRF-2	1955.0-1980.0	-	1975
IGRF-1	1955.0-1975.0	-	1971

Джерела даних та методики визначення коефіцієнтів моделі

Єдиних стандартів (на відміну, наприклад, від індексу геомагнітної активності), що брати за спостережувані дані, не існує, і кожне нове покоління — фактично, незалежне дослідження. Загалом вважається, що коефіцієнти Гаусса змінюються повільно, тому в ряді Тейлора можна обмежитися першим порядком малості за часом:

${\displaystyle g_{\ell }^{m}=g_{\ell }^{m}(t_{0})+{\dot {g}}_{\ell }^{m}(t_{0})\cdot (t-t_{0}),}$

${\displaystyle h_{\ell }^{m}=h_{\ell }^{m}(t_{0})+{\dot {h}}_{\ell }^{m}(t_{0})\cdot (t-t_{0}),}$

де інтерес становлять коефіцієнти ${\displaystyle {\dot {g}}_{\ell }^{m}}$ і ${\displaystyle {\dot {h}}_{\ell }^{m}.}$

Дані наземних станцій

Супутникові дані

Розв'язати класичні проблеми^[які?] наземних спостережних пунктів допоміг вихід на навколоземну орбіту. Починаючи з 11-го покоління основою моделі служать саме супутникові дані, хоча використовувалися вони й раніше. Так, для створення моделі 10 покоління було застосовано дві групи даних, які ґрунтувалися на вимірюваннях тільки з супутника «CHAMP^[en]», запущеного в 2000 році. Його дані були також використані як основа і для IGRF-11, а дані з супутника «Ørsted^[en]» (запущений в 1999) служили для оцінки нев'язок. Для IGRF-12 дані «Ørsted», нарівні з даними від «Swarm» (запущений у 2013), вже були основними. Як дані для порівняння бралися результати вимірювань наземних станцій^[6][1].

Внаслідок того, що на космічному апараті магнітометр може змінювати своє положення відносно зір, функція помилок залежить від кутів Ейлера α, β, γ^[6]ref name="11generation"/>:

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}(\mathbf {g;k;} \alpha ,\beta ,\gamma )=\sum \limits _{i}\varepsilon _{i}^{2}+\sum \limits _{i}f_{i}^{2},}$

де g — вектор основного магнітного поля і вікові варіації гауссових коефіцієнтів, k — вектор денних корекцій для моделі зовнішнього магнітного поля, ε_i — вектор нев'язок:

${\displaystyle \epsilon _{i}=R_{q}R_{3}(\alpha ,\beta ,\gamma )B_{i}^{\mathrm {measured} }-B_{i}^{\mathrm {model} }(\mathbf {g;k} ),}$

а f_i — нев'язка модуля вектора магнітного поля:

${\displaystyle f_{i}=F_{i}-|B_{i}^{\mathrm {model} }(\mathbf {g;k} )|,}$

де вектор магнітного поля є сумою внутрішнього основного поля, магнітного поля, наведеного від земної кори, і зовнішнього поля:

${\displaystyle B^{\mathrm {model} }(\mathbf {g;k} )=B^{\mathrm {int} }(\mathbf {g} )+B^{\mathrm {crust} }+B^{\mathrm {ext,pomme} }+B^{\mathrm {ext,correction} }(\mathbf {k} ).}$

Див. також

• Всесвітня магнітна модель^[en] — модель магнітного поля, що використовується США і НАТО.