Напівкільце

В абстрактній алгебрі напівкільце — алгебрична структура, схожа на кільце, але без вимоги існування оберненого елемента щодо операції додавання.

Визначення та властивості напівкілець

Напівкільце — множина ${\displaystyle S}$ з бінарними операціями ${\displaystyle +}$ і ${\displaystyle \cdot }$, в якій для будь-яких елементів ${\displaystyle a,b,c}$ виконуються аксіоми: ^[1][2]

1. ${\displaystyle \langle S,+\rangle }$ — комутативний моноїд. Тобто справедливі рівності:
   • Комутативність: ${\displaystyle a+b=b+a}$
   • Асоціативність: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
   • Існування нейтрального елемента (нуля): ${\displaystyle a+0=0+a=a}$
2. ${\displaystyle \langle S,\cdot \rangle }$ — напівгрупа. Тобто має місце властивість:
   • асоціативність: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
3. Дистрибутивність множення щодо додавання:
   • Ліва дистрибутивність: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
   • Права дистрибутивність: ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$
4. Мультиплікативна властивість нуля:
   • ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$

Остання аксіома опускається в визначенні кільця, так як там вона випливає з інших аксіом, тут же її доводиться додавати. Відмінність напівкільця від кільця полягає тільки в тому, що по додаванню напівкільце утворює тільки комутативний моноїд, а не комутативну групу.

Напівкільце називається комутативним, якщо операція множення в ньому є комутативною: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\;\forall a,b\in S}$.

Напівкільце називається напівкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент щодо операції множення (що називається одиницею): ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a\;\forall a\in S}$.

Напівкільце називається мультиплікативно (або адитивно) скоротним, якщо ${\displaystyle \;\forall a,b,c\in S}$ з рівності ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c}$ (або, відповідно, ${\displaystyle a+c=b+c}$) випливає, що ${\displaystyle a=b}$.

Напівкільце називається ідемпотентним, якщо для будь-якого ${\displaystyle a\in S}$ виконується рівність ${\displaystyle a+a=a.}$

Приклади напівкілець

• Напівкільце ${\displaystyle \langle \mathbb {N} _{0},+,\cdot \rangle }$ натуральних чисел з нулем.
• Тривіальне напівкільце: ${\displaystyle \langle \lbrace 0\rbrace ,+,\cdot \rangle }$
• Двоелементне напівкільце: ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} _{2},+,\cdot \rangle }$, ${\displaystyle \langle \mathbb {B} ,\oplus ,\vee \rangle }$, де ${\displaystyle \vee }$ позначає диз'юнкцію, а ${\displaystyle \oplus }$ — виключну дизюнкцію на множині ${\displaystyle \mathbb {B} =\lbrace 0,1\rbrace }$
• Квадратні n × n матриці з елементами з напівкільця натуральних чисел з нулем ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ і операціями матричного додавання і множення. Також напівкільце утворюють квадратні матриці з елементами з будь-якого напівкільця.
• Якщо A — комутативний моноїд, то множина End(A) ендоморфізмів A утворює напівкільце, де додавання визначено поточково, а множення — композиція функцій.
• N [x], многочлени з натуральними коефіцієнтами утворюють комутативне напівкільце. Воно є вільним комутативним напівкільцем з єдиним генератором {x}.
• Невід'ємні дійсні числа зі звичайними операціями додавання і множення. ^[2]
• (Max, +) і (min, +) — напівкільця дійсних чисел, в яких сумою двох чисел визначено їх максимум (відповідно мінімум), а множення — звичайне додавання дійсних чисел.

Напівкільце множин

Напівкільце множин ^[3] — система множин S, для якої виконані наступні умови:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$;
• ${\displaystyle \forall A,B\in S\quad A\cap B\in S}$;
• ${\displaystyle \forall A\in S,A_{1}\in S\quad A_{1}\subset A\rightarrow \exists A_{2},\dots ,A_{n}\subset A:A_{1}\sqcup \dots \sqcup A_{n}=A}$.

Таким чином, напівкільце множин містить в собі порожню множиню, є замкнутим щодо перетину і будь-яка множина з напівкільця множин може бути записана у вигляді скінченного об'єднання множин, що належать цьому напівкільцю множин і попарно не перетинаються. Такі напівкільця часто використовуються в теорії міри.

Напівкільцем множин з одиницею називають напівкільце множин з таким елементом E, що його перетин з будь-яким елементом A напівкільця множин рівний A. Будь-яке кільце множин є напівкільцем множин. Прямий добуток напівкілець множин також є напівкільцем множин.

Див. також

• Кільце (алгебра)