Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем (${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал^[1]. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають ${\displaystyle L(X,Y)}$.

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості

• Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
• Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
• Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.^[2]. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
• Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ збігається з простором Y, то існує обернений оператор ${\displaystyle A^{-1}\in L(Y,X)}$ (так звана теорема про обернений оператор).
• Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то ${\displaystyle L(X,Y)}$ також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й ${\displaystyle L(X,Y)}$ є такою, незалежно від повноти X.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ буде цілком неперервним оператором, область його значень ${\displaystyle R(A)}$ буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці^[3].

Неперервність і збіжні послідовності

Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точка X, із ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ випливає ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$.

Нехай ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ збігається і ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$.

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабке, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабке.

Пов'язані визначення

• Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$.

Див. також

• Спряжений оператор

Джерела

• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.