Обернений оператор

Обернений оператор до оператора ${\displaystyle A}$ — оператор, який кожному ${\displaystyle y}$ із множини значень ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ оператора ${\displaystyle A}$ ставить у відповідність єдиний елемент ${\displaystyle x}$ із області визначення ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$, який є розв'язком рівняння ${\displaystyle Ax=y}$. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ має обернений, тобто рівняння ${\displaystyle Ax=y}$ має єдиний розв'язок за будь-якого ${\displaystyle y}$ із ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$, то ${\displaystyle A}$ називають оборотним. Обернений оператор позначають ${\displaystyle A^{-1}}$^[1].

Якщо a відображає X на Y, то A⁻¹ відображає Y на X

Визначення та умови існування

Інше визначення: оператор ${\displaystyle B}$ називають оберненим до оператора ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle BA=I,\,AB=I}$, де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор. Якщо виконується тільки співвідношення ${\displaystyle BA=I}$ або тільки ${\displaystyle AB=I,}$ то оператор ${\displaystyle B}$ називають лівим оберненим або правим оберненим відповідно. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор ${\displaystyle A}$ є оборотним^[2]. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чином^[3].

Оператор ${\displaystyle A}$ оборотний, якщо він відображає ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ на ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ взаємно однозначно, тобто за різних ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ набуває різних значень ${\displaystyle y}$^[4]. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ — лінійний, то для існування оберненого оператора достатньо, щоб ${\displaystyle Ax=0}$ виконувалося тільки при ${\displaystyle x=0}$^[5].

Лінійний оператор (навіть обмежений) може мати обернений, визначений не на всьому просторі. Наприклад, у просторі ${\displaystyle \ell _{2}}$ лінійний оператор

${\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )}$

має обернений, який визначено для векторів із першою координатою рівною нулю: ${\displaystyle x_{1}=0}$^[5].

Властивості

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A.}$^[6]
• ${\displaystyle (A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.}$^[3]
• Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$, обернений до лінійного оператора, також лінійний^[1].
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$, ${\displaystyle A^{*}}$ — спряжений оператор^[7].

Теореми про обернений оператор

Теорема Банаха

Нехай ${\displaystyle A}$ — лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає Банахів простір ${\displaystyle E}$ на Банахів простір ${\displaystyle E_{1}}$. Тоді обернений оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ обмежений.

Теорема Банаха є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає теорема про відкрите відображення: лінійне неперервне відображення ${\displaystyle A}$ Банахового простору ${\displaystyle E}$ на (всі) Банахові простори ${\displaystyle E_{1}}$ відкрите^[8].

Достатня умова існування оберненого оператора

• Нехай лінійний оператор ${\displaystyle A}$, який відображає лінійний нормований простір ${\displaystyle E}$ на лінійний нормований простір ${\displaystyle E_{1}}$, задовольняє для будь-якого ${\displaystyle x\in E}$ умові

${\displaystyle \|Ax\|\geq m\|x\|,}$

де ${\displaystyle m>0}$ — деяка константа. Тоді існує обернений обмежений лінійний оператор ${\displaystyle A^{-1}}$^[9].

• Нехай ${\displaystyle A}$ — лінійний обмежений оборотний оператор, що діє з Банахового простору ${\displaystyle E}$ в Банахів простір ${\displaystyle E_{1}}$ і ${\displaystyle \Delta A}$ — лінійний обмежений оператор з ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$ такий, що ${\displaystyle \|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|}$. Тоді оператор ${\displaystyle B=A+\Delta A}$ має обмежений обернений, причому

${\displaystyle \|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}}$^[10][11].

• Нехай ${\displaystyle E}$ — Банахів простір, ${\displaystyle I}$ — тотожний оператор в ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A}$ — такий лінійний обмежений оператор, який відображає ${\displaystyle E}$ в себе, що ${\displaystyle \|A\|<1}$. Тоді оператор ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ існує, обмежений і подається у вигляді ряду

${\displaystyle (I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }A^{k}}$^[12].

Приклади

Перетворення Фур'є

Докладніше: Перетворення Фур'є

${\displaystyle g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt}$

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з простору ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda }$^[13].

Оператори інтегрування та диференціювання

Для оператора інтегрування

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,}$

який діє в просторі неперервних функцій ${\displaystyle C[0,1]}$, оберненим буде оператор диференціювання:

${\displaystyle A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),}$

визначений на лінійному многовиді неперервно диференційовних функцій, таких що ${\displaystyle y(0)=0}$^[14].

Оператор Штурма — Ліувілля

Для диференціального оператора Штурма — Ліувілля

${\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,}$

визначеного на лінійному многовиді двічі неперервно диференційовних функцій таких, що ${\displaystyle x(0)=x(1)=0}$, оберненим оператором є інтегральний оператор

${\displaystyle A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,}$

де ${\displaystyle G(t,\tau )}$ — функція Гріна. ${\displaystyle A^{-1}}$ — лінійний обмежений оператор у ${\displaystyle C[0,1]}$^[14].

Інтегральний оператор

Нехай

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

— інтегральний оператор у просторі безперервних функцій ${\displaystyle C[0,1]}$. За достатньо малих значень параметра ${\displaystyle \lambda }$ оператор ${\displaystyle (I-\lambda A)}$ (де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор) має обмежений обернений

${\displaystyle (I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds}$,

де ${\displaystyle R(t,s,\lambda )}$ — резольвента ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок інтегрального рівняння

${\displaystyle x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

за будь-якого вільного члена ${\displaystyle y(t)}$^[15].

Обернений оператор у скінченновимірному просторі

Оператор у скінченновимірному просторі оборотний тоді й лише тоді, коли його ранг збігається з розмірністю простору. Інакше кажучи, визначник його матриці відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає обернена матриця^[16].

Див. також

• Лінійне відображення
• Обернена функція
• Ізоморфізм
• Банахів простір
• Лінійний неперервний оператор