Нерівність Шура

В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа ${\displaystyle t}$ та довільних невід'ємних дійсних чисел ${\displaystyle x,y,z}$ справджується наступна нерівність:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або ${\displaystyle x=y=z}$ або два з чисел ${\displaystyle x,y,z}$ рівні між собою, а третє є нулем.

Найбільш вживаним та відомим є випадок при ${\displaystyle t=1}$, коли дана нерівність набуває вигляду

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y}$

Доведення

Оскільки нерівність симетрична відносно змінних ${\displaystyle x,y,z}$, то без обмеження загальності, вважатимемо ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:

${\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

яка виконується з огляду на те, що ${\displaystyle x^{t}(x-z)\geqslant x^{t}(y-z)\geqslant y^{t}(y-z)}$. Також, очевидно що рівність можлива лиш при ${\displaystyle x=y=z}$ або ${\displaystyle x=y}$ та ${\displaystyle z=0}$. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або ${\displaystyle x=y=z}$ або два з чисел ${\displaystyle x,y,z}$ рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.

Узагальнення

Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел ${\displaystyle x,y,z}$ та невід'ємних дійсних ${\displaystyle a,b,c}$:

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:

• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ та ${\displaystyle a\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ та ${\displaystyle c\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ та ${\displaystyle a+c\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ та ${\displaystyle ax\geqslant by}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ та ${\displaystyle cz\geqslant by}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ та ${\displaystyle ax+cz\geqslant by}$
• ${\displaystyle a,b,c}$ - сторони деякого трикутника
• ${\displaystyle a,b,c}$ - квадрати сторін деякого трикутника
• ${\displaystyle ax,by,cz}$ - сторони деякого трикутника
• ${\displaystyle ax,by,cz}$ - квадрати сторін деякого трикутника
• Існує опукла функція або монотонна ${\displaystyle f:I\longrightarrow R^{+}}$ , де ${\displaystyle I}$- це інтервал, що містить числа ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, причому ${\displaystyle a=f(x)}$, ${\displaystyle b=f(y)}$, ${\displaystyle c=f(z)}$

В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:

Якщо ${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$, причому ${\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}$ та або ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ чи ${\displaystyle z\geqslant y\geqslant x}$ і ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ та ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$ є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:

${\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}$

Неважко переконатись, що при ${\displaystyle x=a,y=b,z=c,k=1,f(n)=n^{r}}$ ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.

Див. також

• Нерівність
• Нерівність Коші — Буняковського
• Нерівність Гельдера
• Нерівність трикутника
• Нерівність Єнсена

Посилання

1. https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf
2. http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality
3. http://www.imomath.com/index.php?options=596