Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Нерівність Гельдера
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів .
Формулювання
Узагальнити
Перспектива
Нехай — простір з мірою, — простір функцій вигляду із скінченним інтегровним -им степенем.
Тоді в останньому визначена норма
Нехай
Тоді
Remove ads
Доведення
Узагальнити
Перспектива
Лема
Нехай — неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція і тоді для всіх додатних і
Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною
Власне доведення
Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:
для всіх і для будь-яких додатних сталих і
(1) |
де тобто
Для нерівність очевидна: оскільки і звідси з цього
Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо Оскільки маємо і є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, і з леми ми отримуємо
Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли що тотожно до
Покладемо і Завдяки (1) ми знаходимо
і звідси, беручи суму по всіх від 1 до
Отже, що і потрібно було довести.
Remove ads
Часткові випадки
Узагальнити
Перспектива
Нерівність Коші — Буняковского
Поклавши , отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору .
Евклідів простір
Розглянемо Евклідів простір або . -норма у цьому просторі має вигляд:
- ,
тоді: .
Простір lp
Нехай — скінченна міра на . Тоді множина всіх послідовностей , таких що
- ,
називається . Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:
- .
Ймовірнісний простір
Нехай — ймовірнісний простір. Тоді складається з випадкових величин із скінченним -м моментом: , де символ позначає математичне сподівання.
Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:
Remove ads
Див. також
- простір Lp
- Гельдер, Отто
- Нерівність Юнга
- Нерівність Мінковського
Джерела
- Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
- Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads