Нетеровий топологічний простір

Нетеровий простір — топологічний простір X, що задовольняє умові обриву спадних ланцюгів замкнутих підмножин. Тобто для кожної послідовності замкнутих підмножин ${\displaystyle Y_{i}}$ простору X, такої що:

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots ,}$

існує ціле число r, що ${\displaystyle Y_{s}=Y_{r},~\forall s>r.}$

Еквівалентне умова: будь-яке непорожнє сімейство замкнутих підмножин в X, впорядковане щодо включення має мінімальний елемент.

Властивості

• Будь-який підпростір простору Нетер знову є простором Нетер.
• Якщо простір X допускає скінченне покриття нетеровими підпросторами, то X теж є нетеровим.
• Простір X є простором Нетер тоді і тільки тоді, коли будь-яка відкрита підмножина в X є компактною.
• Нетеровий простір X є об'єднанням скінченного числа своїх незвідних компонент.

Приклади

Нетерові простори часто зустрічаються у алгебричній геометрії.

• Простір ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ (афінний n-вимірний простір над полем k) із топологією Зариського є топологічним простором Нетер. Згідно з означенням топології Зариського в ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n},}$ якщо

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

є спадна послідовність замкнутих множин, то

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

є зростаючою послідовністю ідеалів ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ (${\displaystyle I(Y_{i})}$ позначає ідеал поліноміальних функцій, що рівні нулю в кожній точці ${\displaystyle (Y_{i})}$). Оскільки ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ є кільцем Нетер, існує ціле число m, таке що

${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .}$

Зважаючи на однозначну відповідність між радикальними ідеалами ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ і замкнутими (в топології Заріскі) множинами ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ виконується ${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$ для всіх i. Тому: ${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$

• Прикладами нетерових просторів є спектри комутативних кілець. Для кільця R простір Spec(R) (спектр R) є нетеровим тоді і тільки тоді, коли R — кільце Нетер.

Див. також

• Кільце Нетер

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії