Обгортка (геометрія)

Обгортка сімейства кривих на площині — це крива, що в кожній своїй точці є дотичною хоча б до однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком дотична до нескінченної кількості кривих сімейства^[1]. Наприклад, будь-яка гладка крива, що не містить прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.

Обгортка сімейства дотичних прямих.

Визначення

Нехай є сімейство гладких кривих ${\displaystyle S=\{\gamma _{\alpha }\}}$, залежне від параметру ${\displaystyle \alpha }$. Гладка крива ${\displaystyle \gamma \in C^{1}}$ буде обвідною сімейства S, якщо^[2][1]:

1. для кожної точки кривої ${\displaystyle \gamma }$ відповідає крива ${\displaystyle \gamma _{\alpha }\in S}$, дотична до ${\displaystyle \gamma }$ в цій точці,
2. для кожної кривої ${\displaystyle \gamma _{\alpha }\in S}$ відповідає точка на ${\displaystyle \gamma }$, в якій ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ дотична до ${\displaystyle \gamma }$,
3. жодна крива сімейства S не має спільного відрізка з кривою ${\displaystyle \gamma }$.

Якщо сімейство кривих задано рівнянням ${\displaystyle F(x,y,\alpha )=0}$. Тоді обгортка сімейства кривих визначається системою

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}F(x,y,\alpha )&=0\\F_{\alpha }(x,y,\alpha )&=0\end{array}}\right.}$

Приклади

• Для сімейства кіл однакового радіуса з центрами на прямій обвідна — це дві паралельні прямі.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Парабола є обвідною сімейства серединних перпендикулярів для відрізків, що з'єднують фіксовану точку (фокус параболи) та фіксовану пряму (директрису параболи).

Див. також

• Геометричне місце точок