Геометричне місце точок

Геометри́чне мі́сце то́чок (ГМТ) — мовне означення в математиці, вживане для визначення геометричної фігури як множини точок, що володіють деякою властивістю.

Кожна крива на цьому малюнку є геометричним місцем точок, що визначаються як конхоїдою точки P і прямої l. В цьому прикладі, P знаходиться в 8 см від l.

Історія та філософія

До початку 20-го сторіччя геометричну форму (наприклад, криву) не розглядали як нескінчену множину точок; скоріше її розглядали як об'єкт, на якому може бути розташована точка, або на якому ця точка переміщується. Таким чином коло в Евклідовій площині було визначене як геометричне місце точки, яка знаходиться на заданій відстані фіксованої точки, центрі кола. У сучасній математиці подібні поняття частіш повторно формулюються в описанні форми як наборів; наприклад, хтось говорить, що коло — множина точок, які знаходяться на заданій відстані від центра^[1]. На відміну від теоретико — множинного уявлення, старе формулювання уникає розглядання нескінченних наборів, оскільки уникання фактичної нескінченності було важливим філософським положенням більш ранніх математиків.^[2][3]

Як тільки теорія множин стала універсальним фундаментом,^[4][5] на якому була збудована ціла математика, термін геометричного місця точок став досить старомодним. Проте, слово все ще широко використовується, в основному для короткого формулювання, наприклад:

• Критичне місце точок, набір критичних точок для функції, що диференціюється
• Виключне місце точок, набір особливих точок алгебраїчного многовиду
• Місце точок зв’язності^[en], підмножина набору параметра сімейства раціональних функцій, для яких підключена множина функцій Жюліа.

В останній час методи, такі як теорія схем і використання теорії категорії замість теорії множин, для надання основ математики, повернулися до понять більш схожих на оригінальне визначення геометричного місця точок, як самого по собі, ніж як множини точок.^[3]

Формальне визначення

У загальному випадку, геометричне місце точок формулюється параметричним предикатом, аргументом якого є точка даного лінійного простору. Параметри предиката можуть носити різний тип. Предикат називається детермінантою геометричного місця точок. Параметри предиката називаються диференціалами геометричного місця точок (не плутати з диференціалом в аналізі).

Роль диференціалів полягає у введенні видових відмінностей у фігуру. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може й зовсім не бути.

Якщо задані детермінант ${\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}$, де ${\displaystyle M}$ — точка, ${\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }$ — диференціали, то шукану фігуру ${\displaystyle A}$ задають у вигляді: «${\displaystyle A}$ — геометричне місце точок ${\displaystyle M}$, таких, що ${\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}$». Далі звичайно вказується роль диференціалів, їм даються назви щодо даної конкретної фігури. Під власне фігурою розуміють сукупність (множину) точок ${\displaystyle M}$, для яких для кожного конкретного набору значень ${\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }$ висловлювання ${\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}$ перетворюється в тотожність. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх у сукупності іменують назвою фігури, яка задається через геометричне місце точок.

У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різного роду зворотів з метою милозвучності. Іноді, у випадку простих детермінантів, взагалі обходяться без буквених позначень.

Приклад: параболу задамо як множину всіх таких точок ${\displaystyle M}$, що відстань від ${\displaystyle M}$ до точки ${\displaystyle F}$ дорівнює відстані від ${\displaystyle M}$ до прямої ${\displaystyle l}$. Тоді диференціали параболи — ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle l}$; детермінант — предикат ${\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))}$, де ${\displaystyle \rho }$ — відстань між двома точками (метрика), ${\displaystyle \rho _{l}}$ — відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола — геометричне місце точок ${\displaystyle M}$, рівновіддалених від точки ${\displaystyle F}$ і прямої ${\displaystyle l}$. Точку ${\displaystyle F}$ називають фокусом параболи, а пряму ${\displaystyle l}$ — директрисою».

Приклади на геометричній площині

Приклади на геометричній площині включають:

• Множина точок, рівновіддалена від двох точок, є серединним перпендикуляром до відрізку, що з'єднує дві точки.^[6]
• Множина точок, рівновіддалена від двох прямих, що перетинаються — бісектриса.
• Парабола: множина точок, рівновіддалене від єдиної точки (фокус) і прямої (директриса).
• Коло: множина точок, для якого відстань від єдиної точки постійна (радіус). Множина точок, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних фокусів — додатня константа (яка не дорівнює 1) згадується як коло Аполлонія^[en].
• Гіпербола: множина точок, для кожної з яких абсолютна величина різниці між відстанями до двох даними фокусів — константа.
• Еліпс: множина точок, для кожної з яких сума відстаней до двох даних фокусів — константа. Коло — особливий випадок, в якому ці два фокуси збігаються один з одним.

Інші приклади ГМТ з'являються в різноманітних галузях математики. Наприклад, у комплексній динаміці^[en], множина Мандельброта є підмножиною комплексної площини, яка може бути охарактеризована як місце точок зв'язності сімейства поліномних карт.

Доведення ГМТ

Щоб довести що геометрична фігура — правильне ГМТ для даного набору умов, зазвичай ділять доказ на два етапи:^[7]

• Довести, що всі точки, які задовольняють умови, знаходяться на даній фігурі.
• Довести, що всі точки на цій фігурі задовольняють умови.

Приклади

Перший приклад

(відстань PA) = 3.(відстань PB)

Знаходимо ГМТ точок P, які мають задане відношення відстаней k = d₁/d₂ для двох заданих точок.
У цьому прикладі обрано за фіксовані точки k= 3, A(-1,0) and B(0,2).

P(x, y) це точка ГМТ

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}}$

Це рівняння представляє коло з центром (1/8, 9/4) та радіусом ${\displaystyle {\frac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$. Це — коло Аполлонія^[en] визначене значеннями k, A, B.

Другий приклад

ГМТ у точці C

У трикутника ABC є фіксована сторона [AB] з довжиною c. Ми визначаємо ГМТ третьої вершини C таким чином, що медіани від A і C ортогональні.

Ми обираємо ортонормовану систему координат, таким чином що A (-c / 2,0), B (c / 2,0). C (x, y) — змінна третя вершина. Центр [BC] є M ((2x + c) / 4, y / 2). У медіани від C має нахил y / x. Медіана AM має нахил 2y / (2x + 3c).

Геометричне місце точок — коло

C(x, y) — точка ГМТ

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Медіани A та C ортогональні

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16}$

Третій приклад

Точка перетину зв'язаних ліній k and l, що описують коло

ГМТ може також бути визначено двома пов'язаними кривими в залежності від одного загального параметра. Якщо параметр вар'юється, точки перетину пов'язаних кривих описують ГМТ.

У фігурі, точки K і L — фіксовані точки на даній прямій m. Пряма k є рухомою прямою, яка проходить через K. Пряма l проходить через L перпендикулярно прямій k. Кут ${\displaystyle \alpha }$ між k і m є параметром. K і l — пов'язані прямі в залежності від спільного параметра. Точка S — точка перетину k і l описує коло. Це коло — ГМТ точки перетину двох пов'язаних прямих.

Четвертий приклад

ГМТ точок не повинне бути одновимірним (як коло, пряма тощо). Наприклад,^[8] ГМТ нерівності ${\displaystyle 2x+3y-6<0}$ є частиною площини, яка під прямою ${\displaystyle 2x+3y-6=0}$.

Див. також

• Геометричний центр
• Центр мас
• Простір