Обернене відношення

Обернене відношення — в математиці це бінарне відношення, взяте в зворотному порядку по відношенню до даного.

Властивості бінарних відношень:
${\displaystyle \forall a,b,c\;\in {X}:}$

рефлексивність ${\displaystyle (aRa)\!}$
антирефлексивність ${\displaystyle \lnot (aRa)\!}$

симетричність ${\displaystyle aRb\Rightarrow bRa\!}$
асиметричність ${\displaystyle aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)}$

антисиметричність ${\displaystyle aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b}$

транзитивність ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc}$
антитранзитивність ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)}$

повнота ${\displaystyle aRb\vee bRa\!}$

Визначення

Нехай на множині ${\displaystyle X}$ задано бінарне відношення ${\displaystyle R.}$ Тоді його зворотним називається відношення ${\displaystyle R^{-1},}$ побудоване таким чином:

${\displaystyle \forall x,y\in X\quad {\bigl (}xR^{-1}y{\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}yRx{\bigr )}.}$

Властивості

• Відношення рівне своєму оберненому є симетричним.
• Якщо відношення ${\displaystyle R}$ має такі властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність і транзитивність, то й обернене відношення ${\displaystyle R^{-1}}$ має такі ж властивості.
• Якщо відношення ${\displaystyle R}$ ін'єктивне, сюр'єктивне або функціональне, то ${\displaystyle R^{-1},}$ не обов'язково буде таким же.

Приклади

• Для відношення "бути батьком", оберненим є "бути сином". Для відношення "бути предком" є зворотнім відношення "бути нащадком"
• На множині дійсних чисел оберненим до відношення < (менше) є відношення > (більше).

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ(інші мови), 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)