Обернення блочної матриці

Для квадратної матриці ${\displaystyle \ M}$, поділеної на блоки ${\displaystyle \ A,B,C,D}$ з розмірами n×n, n×k, k×n та k×k розміщеними таким чином:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

обернена матриця ${\displaystyle M^{-1}}$ може бути обчислена спрощеним способом, використавши блочну структуру матриці M.

Для цього використаємо квадратні матриці:

${\displaystyle \ S_{D}=A-BD^{-1}C}$ — це доповнення Шура для блоку D матриці M.

${\displaystyle \ S_{A}=D-CA^{-1}B}$ — це доповнення Шура для блоку A матриці M.

Отримаємо результат:

${\displaystyle M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(A-B{D}^{-1}C)^{-1}&-A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B)^{-1}\\-D^{-1}C(A-B{D}^{-1}C)^{-1}&(D-C{A}^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{D}^{-1}&-A^{-1}BS_{A}^{-1}\\-D^{-1}CS_{D}^{-1}&S_{A}^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Доведення формули використовує матричну тотожнісь Вудбурі та LDU розклад матриці.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Ланкастер П.(інші мови). Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)