Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається ${\displaystyle \ A^{-1}}$), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці${\displaystyle \ A}$, розмірності ${\displaystyle \ n\times n}$, причому:

${\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}}$

де ${\displaystyle \ I_{n}}$ одинична ${\displaystyle \ n\times n}$ матриця.

Якщо для матриці ${\displaystyle \ A}$ існує ${\displaystyle \ A^{-1}}$, то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$ — операція обернення є інволюцією.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}$ — обернення транспонованої матриці
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{*}}$ — обернення спряженої матриці
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$ для довільного коефіцієнта ${\displaystyle k\not =0.}$
• ${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$
• ${\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )^{-1}}$ — визначник оберненої матриці.
• ${\displaystyle \operatorname {rang} (A)=n}$ — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
• Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
• Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь ${\displaystyle Ax=b}$, (b — ненульовий вектор) і ${\displaystyle A^{-1}}$ існує, тоді ${\displaystyle x=A^{-1}b}$. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

• Метод Гауса — Жордана
• LU розклад матриці
• ${\displaystyle {A}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}}$

де ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ — союзна матриця.

Ітераційні методи

...

Приклади

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}$.

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}.}$

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh=\det A\neq 0}$.

Див. також

• Теорія матриць
• Псевдообернена матриця
• Обернення блочної матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Обернена матриця // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 24. — 594 с.