Однорідні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння називається однорідним у одному з двох аспектів.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо його можна записати у вигляді

${\displaystyle f(x,y)\mathrm {d} y=g(x,y)\mathrm {d} x,}$

де ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$  — однорідні функції від ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ однакового степеня.^[1] У цьому випадку підстановка ${\displaystyle y=ux}$ приводить до рівняння вигляду

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{x}}=h(u)\mathrm {d} u,}$

що легко розв'язується інтегруванням лівої та правої частин.

Інакше, диференціальне рівняння називається однорідним, якщо воно є однорідною функцією від невідомої функції та її похідних. У випадку лінійних диференціальних рівнянь це означає відсутність вільного члена. Таким чином, рівняння

${\displaystyle a_{n}(x)y^{(n)}+\cdots +a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=b(x)}$

є однорідним, якщо ${\displaystyle b(x)\equiv 0}$. У випадку ${\displaystyle b(x)\neq 0}$ таке рівняння називають неоднорідним.

Розв'язки будь-якого лінійного звичайного диференціального рівняння будь-якого порядку можна вивести інтегруванням з розв'язку відповідного однорідного рівняння, отриманого вилученням вільного члена.

Історія

Поняття однорідності було вперше застосовано до диференціальних рівнянь Йоганном Бернуллі у дев'ятому розділі його статті 1726 року De integraionibus aequationum differentialium (Про інтегрування диференціальних рівнянь).^[2]

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку вигляду

${\displaystyle M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0}$

є однорідним, якщо обидві функції ${\displaystyle M(x,y),~N(x,y)}$ є однорідними однакового степеня ${\displaystyle n}$. Таким чином, помноживши кожну змінну на параметр ${\displaystyle \lambda }$, маємо

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)}$ і

${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y).}$

Отже,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}.}$

Спосіб розв'язання

У співвідношенні

${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$

покладемо ${\displaystyle t={\frac {1}{x}}}$, щоб перейти до функції однієї змінної ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x).}$

Тобто

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-f(y/x).}$

Робимо підстановку ${\displaystyle y=ux}$; диференціюємо застосовуючи правило добутку:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ux)}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+u{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+u.}$

Таким чином, у рівнянні відокремлено змінні:

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=-f(u)-u}$

або

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$

яке вже можна проінтегрувати.

Особливий випадок

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

${\displaystyle \left(ax+by+c\right)\mathrm {d} x+\left(ex+fy+g\right)\mathrm {d} y=0,}$

де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$  — константи та ${\displaystyle af\neq be}$, може бути зведено до однорідного за допомогою лінійної заміни змінних:

${\displaystyle t=x+\alpha$ ;\quad z=y+\beta ,}

де ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$  — константи.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Див. також: Лінійне диференціальне рівняння

Лінійне диференціальне рівняння є однорідним, якщо воно є однорідним лінійним рівнянням від невідомої функції та її похідних. З цього випливає, що якщо ${\displaystyle \varphi (x)}$ є розв'язком такого рівняння, то і ${\displaystyle c\varphi (x)}$ також є його розв'язком для будь-якої відмінної від нуля константи ${\displaystyle c}$. Щоб ця умова виконувалася, кожен ненульовий член лінійного диференціального рівняння повинен залежати від невідомої функції або від будь-якої її похідної. Лінійне диференціальне рівняння, для якого ця умова не виконується, називається неоднорідним.

Лінійне диференціальне рівняння може бути представлене як лінійний оператор, що діє на ${\displaystyle y(x),}$ де ${\displaystyle x}$ зазвичай є незалежною змінною, а ${\displaystyle y}$  — залежною змінною. Таким чином, загальна форма лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

${\displaystyle L(y)=0,}$

де ${\displaystyle L}$  — диференціальний оператор, тобто сума похідних (у цьому випадку визначаємо «нульову похідну» як початкову функцію), помножених на функції ${\displaystyle f_{i}}$, що залежать від ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {\mathrm {d} ^{i}}{\mathrm {d} x^{i}}},}$

де функції ${\displaystyle f_{i}}$ можуть бути константами, але не можуть усі одночасно дорівнювати нулю.

Наприклад, таке лінійне диференціальне рівняння є однорідним:

${\displaystyle \operatorname {tg} (2x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+3y=0,}$

тоді як наступні два рівняння є неоднорідними:

${\displaystyle \operatorname {tg} (2x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+3y=\cos(x);}$

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-3x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+xy=2.}$

Присутність вільного члена є достатньою умовою того, що рівняння є неоднорідним.

Див. також

• Розділення змінних
• Звичайні диференціальні рівняння
• Лінійне диференціальне рівняння
• Інтеграл