Лінійне диференціальне рівняння

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

${\displaystyle y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=f(x),}$

де ${\displaystyle g_{i}(x)}$ та ${\displaystyle f(x)}$ — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Якщо ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ — рівняння є однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

${\displaystyle Ly(x)=f(x)\,}$

де L — лінійний диференціальний оператор, у — невідома функція (наприклад, від ${\displaystyle x}$), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Також вживається запис

${\displaystyle L[y(x)]=f(x).}$

Лінійний оператор можна розглядати у формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(x){\frac {dy}{dx}}+A_{n}(x)y\,}$

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(x)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(x)D+A_{n}(x)\right]y}$

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) диференціальне рівняння з частинними похідними.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Рівняння зі сталими коефіцієнтами

Докладніше: Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами

Важливим частковим випадком є лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких ${\displaystyle g_{i}(x)=a_{i}}$ — певні сталі:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{0}y=f(x)}$.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Простим прикладом є рівняння Коші — Ейлера, що часто використовується в машинобудуванні

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$

Іншим прикладом є лінійне диференціальне рівняння першого порядку:

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x).}$

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Перетворення Лапласа