Ознака Бертрана

Ознака Бертрана — ознака збіжності числових рядів із додатними членами, встановлена у 1842 році Жозефом Бертраном. У своєму виведенні Бертран посилається на працю Аугустуса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», видану у 1839 році.

Формулювання

Якщо існує таке ${\displaystyle \delta >0}$, що, починаючи з деякого номера ${\displaystyle n}$, виконується нерівність ${\displaystyle B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,}$ то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ збігається. Якщо ж ${\displaystyle B_{n}\leqslant 1}$, починаючи з деякого ${\displaystyle n}$, то ряд розбігається.

Формулювання у граничній формі

Якщо існує границя: ${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }B_{n}}$ то при ${\displaystyle B>1}$ ряд збігається, а при ${\displaystyle B<1}$ — розбігається.

Якщо ${\displaystyle B=1}$, то ознака Бертрана не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

Ознака Бертрана є чутливішою за ознаку Раабе і може бути використана для надзвичайно повільно збіжних рядів.

Див. також

• Ознака Раабе

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Ознака Бертрана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.