Оператор Гільберта — Шмідта

Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор ${\displaystyle A}$ на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$ зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис ${\displaystyle \{e_{i}\colon i\in I\}}$ в ${\displaystyle H}$, що

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}<\infty .}$^[1][2]

Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.

Скалярний добуток Гільберта&nbsp;— Шмідта

Нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — два оператори Гільберта — Шмідта. Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {tr} \,A^{T}\!B=\sum _{i\in I}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$

де ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ позначає слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта:

${\displaystyle \lVert A\rVert _{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i\in I}\lVert Ae_{i}\rVert ^{2}.}$

Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі.

Властивості

Оператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на ${\displaystyle H}$. Оператори Гільберта — Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій нормою на ${\displaystyle H}$, множину тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle H}$ скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів

${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$

де ${\displaystyle H^{*}}$ — простір, спряжений до ${\displaystyle H}$.^[3]