Слід матриці

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: слід.

Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).

Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо ${\displaystyle \ a_{ij}}$ елементи матриці ${\displaystyle \ A}$, її слід дорівнює:

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {Sp}} \;A=\sum _{i}a_{ii}.}$

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A}$ (трейс, від англ. Trace — слід), і ${\displaystyle \mathop {\rm {Sp}} \;A}$ (шпур, від нім. Spur — слід).

Властивості

• Лінійність

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \;\mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \;\mathop {\rm {tr}} \;B}$

• Циклічність

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(AB)=\mathop {\rm {tr}} \;(BA)}$,

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)}$

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {tr}} \;A^{T}}$,

де T означає операцію транспонування.

• Слід подібних матриць однаковий

${\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (APP^{-1})=\operatorname {tr} (A)}$

• Якщо ${\displaystyle A\otimes B}$ добуток Кронекера матриць A та B, то

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)}$

• Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.

• ${\displaystyle f({\rm {trA)=\mathop {\rm {tr}} \;(f(A)).}}}$

Внутрішній добуток

Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A^* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність

${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0}$

яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle A=0}$. Присвоєння

${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)}$

дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.

Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.

Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність

${\displaystyle 0\leq [\operatorname {tr} (AB)]^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq [\operatorname {tr} (A)]^{2}[\operatorname {tr} (B)]^{2}}$

Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.

Див. також

• Теорія матриць
• Визначник матриці
• Ранг матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)