Оператор імпульсу

Оператор імпульсу - квантовомеханічний оператор, відповідний імпульсу в класичній механіці, який визначається формулою

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$,

де ${\displaystyle \hbar }$ - зведена стала Планка, ${\displaystyle \nabla }$ - оператор Гальмільтона, i - уявна одиниця.

Власні функції та власні значення

Власними функціями оператора імпульсу є функції

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$,

де ${\displaystyle \mathbf {k} }$ - дійсний вектор, який називають хвильовим вектором.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\hbar \mathbf {k} \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

тому власні значення оператора імпульсу ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$. Значення хвильового вектора також відіграє роль квантового числа, яким можна індексувати хвильові функції.

Комутаційні співвідношення

Для кожної з компонент оператора імпульсу справедливо:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}(x\phi (x))=-i\hbar \phi (x)+x{\hat {p}}_{x}\phi (x)}$,

де ${\displaystyle \phi (x)\,}$ - будь-яка функція.

Тому:

${\displaystyle [x,{\hat {p}}_{x}]=x{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}x=i\hbar }$.

Це комутаційне співвідношення центральне для квантової механіки — з нього виводяться усі інші. Різні компоненти оператора імпульсу комутують між собою, а також із «не своїми» координатами, наприклад:

${\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0}$,

${\displaystyle [x,{\hat {p}}_{y}]=x{\hat {p}}_{y}-{\hat {p}}_{y}x=0}$.

Джерела

• Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К. : Знання, 2009. — 559 с.
• Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. с. 516.(укр.)
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.