Опукла геометрія

Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, інтегральній геометрії^[en], лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.

Історія

Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам Германа Брунна^[de] і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.

Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа змінних^[1].

Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ був опублікований у 1934 році Томмі Боннезеном^[de] і Вернером Фенхелем^[de][2]. У 1993 році під редакцією Грубера^[ru] і Вільса^[de] вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX столітті^[3].

Класифікація

Згідно математичної предметної класифікації^[4] математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки^[5]:

• Загальна опуклість,
• Багатогранники,
• Дискретна геометрія.

«Загальна опуклість» потім поділяється на:^[6]

• Аксіоматична і узагальнена опуклість
• Опуклі множини без обмеження на розмірність
• Опуклі множини в топологічних векторних просторах
• Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві)
• Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні)
• Опуклі множини в n — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні)
• Банахови простору кінцевої розмірності
• Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія
• Асимптотична теорія опуклих тіл
• Апроксимація опуклими множинами
• Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, (m, n) — опуклі, і так далі)
• Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей
• Інші проблеми комбінаторної опуклості
• Довжина, площа, об'єм
• Змішаний об'єм і пов'язані поняття
• Нерівності та екстремальні задачи
• Опуклі функції і опукле програмування
• Сферична і гіперболічна опуклість

Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антиматроїдам.

Див. також

• Перелік тем опуклої геометрії^[en]