Рівняння живої сили

В астродинаміці рівняння живої сили (vis-viva equation) — це одне з основних рівнянь, що описують рух тіл на орбіті. Воно є прямим наслідком закону збереження механічної енергії, який діє у випадку, коли на тіло впливає лише сила тяжіння — тобто гравітаційна сила, що визначається добутком маси тіла на силу гравітаційного поля навколо нього. Термін vis viva (з латини — «жива сила») походить з історії механіки. Таку назву отримало орбітальне рівняння, яке вперше вивів Ісаак Ньютон^[1]. Воно відображає принцип, згідно з яким різниця між сумарною роботою прискорювальних і гальмівних сил системи дорівнює половині живої сили, накопиченої або втраченої системою під час виконання цієї роботи.

Формулювання

Для будь-якої кеплерівської орбіти — еліптичної, параболічної, гіперболічної або радіальної — рівняння живої сили  має такий вигляд^[2]:

$${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$$

де:

• v — відносна швидкість двох тіл;
• r — відстань між центрами мас цих тіл;
• a — довжина великої півосі орбіти (a > 0 для еліпсів, a = ∞ або 1/a = 0 для парабол, a < 0 для гіпербол);
• G — гравітаційна стала;
• M — маса центрального тіла.

Добуток GM часто позначають грецькою літерою μ і називають стандартним гравітаційним параметром^[3].

Практичне застосування

Знаючи сумарну масу системи та значення r (відстані) і v (швидкості) в одній точці орбіти, можна обчислити:

• значення r і v в будь-якій іншій точці орбіти;
• питому орбітальну енергію ε, яка дозволяє визначити тип руху об'єкта: — якщо енергії недостатньо, щоб залишатися на орбіті, тіло є суборбітальним (наприклад, балістична ракета); — якщо енергії достатньо для орбітального руху, але тіло зрештою зіткнеться з центральним об'єктом, орбіта є несталою; — якщо енергії достатньо, щоб залишити систему або прийти з нескінченності, тіло рухається по гіперболічній траєкторії (наприклад, метеор).

Формулу другої космічної швидкості (швидкості втечі) можна отримати з рівняння живої сили, якщо розглянути граничний випадок, коли ${\displaystyle \infty }$:

$${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$$

Для заданого радіуса орбіти швидкість втечі дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ рази орбітальній швидкості^[1].