Еліптична орбіта

В астродинаміці або небесній механіці, еліптичною орбітою є орбіта Кеплера із ексцентриситетом меншим за 1; що також включає окремий випадок колової орбіти, що має ексцентриситет рівний 0. В більш суворому сенсі, це орбіта Кеплера із ексцентриситетом більшому за 0 і меншому за 1 (таким чином виключаючи колову орбіту). В ширшому розумінні, це Кеплерова орбіта з від'ємною енергією^[en]. Таким чином включає радіальну еліптичну орбіту із ексцентриситетом, що дорівнює 1.

Мале тіло в просторі обертається довкола великого (як це роблять планети довкола Сонця) по еліптичній траєкторії. Велике тіло знаходиться в одному із фокусів еліпса.

Два тіла з однаковою масою обертаються довкола спільного барицентру по еліптичним орбітам.

Швидкість

Згідно стандартних припущень орбітальна швидкість (${\displaystyle v\,}$) тіла, що подорожує еліптичною орбітою можна розрахувати із рівняння орбітально-енергетичної інваріантності^[en] наступним чином:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

де:

• ${\displaystyle \mu \,}$ — стандартний гравітаційний параметр,
• ${\displaystyle r\,}$ — відстань між орбітальними тілами.
• ${\displaystyle a\,\!}$ — довжина великої півосі.

Орбітальний період

Орбітальний період (${\displaystyle T\,\!}$) руху тіла здовж еліптичної орбіти можна розрахувати наступним чином:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

де:

• ${\displaystyle \mu \,}$ — стандартний гравітаційний параметр,
• ${\displaystyle a\,\!}$ — довжина великої півосі.

Висновки із рівняння:

• Орбітальний період дорівнює періоду колової орбіти із орбітальним радіусом, що дорівнює великій півосі (${\displaystyle a\,\!}$),
• Для заданої великої півосі орбітальний період не залежить від ексцентриситету (див. також: Третій закон Кеплера).

Енергія

Питома енергія орбіти^[en] (${\displaystyle \epsilon \,}$) еліптичної орбіти має від'ємне значення і рівняння збереження орбітальної енергії (рівняння орбітально-енергетичної інваріантності^[en]) для такої орбіти матиме наступну форму:

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

де:

• ${\displaystyle v\,}$ — орбітальна швидкість орбітального тіла,
• ${\displaystyle r\,}$ — відстань орбітального тіла від центрального тіла,
• ${\displaystyle a\,}$ — довжина великої півосі,
• ${\displaystyle \mu \,}$ — стандартний гравітаційний параметр.

Висновок:

• Для заданої великої півосі питома орбітальна енергія не залежить від ексцентриситету.

Використавши теорему віріалу можна знайти:

• середнє за часом значення питомої потенційної енергії дорівнює −2ε
• середнє за часом значення r⁻¹ становить a⁻¹
• середнє за часом значення питомої кінетичної енергії дорівнює ε

Сонячна система

В Сонячній системі, планети, астероїди, і більшість комет і деякі уламки космічного сміття обертаючись довкола Сонця мають орбіти близькі до еліптичних. Інакше кажучи, обидва тіла обертаються довкола одного фокусу еліпсоїда, один з них ближчий до найбільш масивного тіла, але коли одне із тіл значно масивніше, як Сонце в порівнянні з Землею, то фокус знаходиться в середині більш масивного тіла, і таким чином виходить, що менше тіло обертається довкола нього. Наступна діаграма перигелію і афелію планет, карликових планет і Комети Галлея показує мінливість ексцентриситету їх еліптичних орбіт. Для однакових відстаней від Сонця, більш широкі смуги означають більший ексцентриситет. Варто відмітити майже нульовий ексцентриситет Землі і Венери в порівнянні з величезна ексцентричність комети Галлея і Ериди.

Відстані деяких тіл Сонячної системи від Сонця. Ліва та права межа кожного прямокутника відповідає перигелію та афелію тіла, відповідно, довгі прямокутники позначають високий ексцентриситет орбіти.

Історія

Вавилонці були першими хто зрозумів, що рух Сонця по екліптиці не є рівномірним, хоча вони і не змогли пояснити чому це так; сьогодні відомо, що це тому що Земля обертається довкола Сонця по еліптичній орбіті, і Земля рухається швидше коли знаходиться ближче до Сонця в перигелії і рухається повільніше коли знаходиться далі в афелії.^[1]

В 17-му столітті, Йоганн Кеплер відкрив, що орбіти по яким планети рухаються довкола Сонця є еліпсами і Сонце знаходиться в одному з фокусів, і описав це як Перший закон руху планет. Згодом, Ісаак Ньютон пояснив це як наслідок відкритого ним закону всесвітнього тяжіння.

Посилання

• JAVA applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.
• Apogee — Perigee [Архівовано 26 січня 2021 у Wayback Machine.] Lunar photographic comparison
• Aphelion — Perihelion [Архівовано 8 червня 2020 у Wayback Machine.] Solar photographic comparison
• http://www.castor2.ca [Архівовано 1 березня 2022 у Wayback Machine.]