Парадокс Смейла

Парадокс Смейла — твердження у диференціальній топології, що сферу в тривимірному просторі можна вивернути навиворіт в класі занурень, тобто з можливими самоперетинами, але без перегинів. Іншими словами, образ сфери у кожний момент деформації мусить залишатися гладким, тобто диференційовним.

Парадокс Смейла. Одна з проміжних конфігурацій, Поверхня Моріна

Парадокс Смейла — це зовсім не логічний парадокс, це теорема, проте вельми контрінтуїтивна. Точніше:

Нехай ${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ є стандартне вкладення сфери у тривимірний простір. Тоді існує неперервне однопараметричне сімейство гладких занурень ${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]}$, таке, що ${\displaystyle f_{0}=f}$ і ${\displaystyle f_{1}=-f}$.

Досить тяжко уявити конкретний приклад такого сімейства занурень, хоча існує багато ілюстрацій та фільмів.^[1][2] З іншого боку, значно простіше довести, що таке сімейство існує. Це і зробив Смейл.

Література

• Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290.
• Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки^{[недоступне посилання з квітня 2019]}. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.