Паралельна крива

Паралельна крива плоскої кривої — обгортка сімейства кіл однакового радіуса, центри яких лежать на заданій кривій. Поняття паралельної кривої — узагальнення поняття паралельної прямої на випадок плоских кривих.

Еліпс (показано червоним), його еволюта (синім) і декілька паралельних кривих (зеленим).

Для параметрично заданої кривої, паралельна крива, що проходить на відстані ${\displaystyle \ a}$ від даної визначається рівняннями:

${\displaystyle X=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$,

${\displaystyle Y=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$.

Або у векторній формі:

${\displaystyle {\vec {r}}=r(t)}$

${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}+a{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\vec {r}}+{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$,

де матриця ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ відповідає повороту вектора на 90° за годинниковою стрілкою.

Див. також

• Еволюта
• Евольвента
• Функція відстані зі знаком

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Паралельна крива(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.