Поверхня Безьє

Поверхня Безьє є різновидом математичного сплайна, використовуваним в комп'ютерній графіці, автоматизованому проектуванні і моделюванні методом скінченних елементів. Як і у випадку кривої Безьє, поверхня Безьє визначається набором контрольних точок. Попри значну подібність до інтерполяції, основна відмінність полягає в тому, що поверхня, в загальному випадку, не проходить через центральні контрольні точки; скоріше, вона «розтягується» відносно них так, ніби кожна з них є центром тяжіння. Поверхні Безьє візуально впізнавані, і математично зручні для багатьох застосувань.

Історія

Поверхні Безьє були вперше описані в 1962 році французьким інженером П'єром Безьє, який використовував їх для проектування автомобільних кузовів. Поверхні Безьє можуть бути будь-якого степеня, але бікубічні поверхні Безьє зазвичай забезпечують достатню кількість ступенів вільності для більшості потреб.

Рівняння поверхні

Приклад поверхні Безьє

Поверхня Безьє порядку ${\displaystyle (n,m)}$ задається ${\displaystyle (n+1)*(m+1)}$ контрольними точками ${\displaystyle {P}}_{i,j}$. Вона відображає одиничний квадрат гладкою безперервною поверхнею, вкладеною в простір тієї ж розмірності, що і {${\displaystyle {P}}_{i,j}$}. Наприклад, якщо P — це точки в чотиривимірному просторі, то поверхня також буде в чотиривимірному просторі. Двовимірна поверхня Безьє може бути визначена як параметрична поверхня, коли становище точки р як функції параметричних координат u, v визначається за формулою:^[1]

${\displaystyle {\mathbf {p} }(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;{\mathbf {P} }_{i,j},}$

де ${\displaystyle \displaystyle u,v\in (0,1)}$, а ${\displaystyle B}$ - многочлени Бернштейна:

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}\;u^{i}(1-u)^{n-i}}$

Деякі властивості поверхонь Безьє:

• Поверхня Безьє перетворюється так само, як і її контрольні точки при всіх лінійних перетвореннях та зрушеннях.
• Усі u = const і  v = const лінії в просторі (u, v), і, зокрема, всі чотири ребра деформованого одиничного квадрата (u, v) є кривими Безьє.
• Поверхня Безьє буде повністю лежати всередині опуклої оболонки своїх контрольних точок, і, отже, також повністю в межах рамки своїх контрольних точок в будь-якій заданій декартовій системі координат.
• Точки на латці, відповідній кутам деформованого одиничного квадрата, збігаються з чотирма контрольними точками.
• Проте, поверхня Безьє, як правило, не проходить через інші свої контрольні точки.

Поверхні Безьє в комп'ютерній графіці

Модель «Gumbo» Едвіна Кетмелла складена з латок

Латкові сітки Безьє перевершують трикутні сітки як метод представлення гладких поверхонь, оскільки вони набагато компактніші, ними легше маніпулювати, і вони мають набагато кращі властивості безперервності. Крім того, інші загальні параметричні поверхні, такі як сфери і циліндри можна добре апроксимувати відносно невеликим числом кубічних латок Безьє.

Латку Безьє порядку ${\displaystyle (n,m)}$ можна побудувати з двох трикутників Безьє порядку m+n, або з одного трикутника Безьє порядку m+n, з областю визначення у вигляді квадрата замість трикутника.

Трикутник Безьє степеня m може бути також побудований з поверхні Безьє (m, m) порядку, з такими контрольними точками, щоб один край був стиснутий в точку, або з областю визначення даних у вигляді трикутника, а не квадрата.