Правило повного математичного сподівання

В теорії ймовірностей твердження відоме як закон повного математичного сподівання^[1], закон повторних сподівань^[2], правило вежі^[3], закон Адама чи теорема згладжування^[4] стверджує, що якщо ${\displaystyle X}$ — випадкова величина, з визначеним матсподіванням ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$, а ${\displaystyle Y}$ — довільна випадкова величина на тому ймовірнісному просторі.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

тобто значення сподівання умовного матсподівання значення ${\displaystyle X}$ для певного ${\displaystyle Y}$ дорівнює матсподіванню ${\displaystyle X}$.

У спеціальному випадку, для ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$ - скінченного або зліченного розбиття простору елементарних подій, тоді

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Приклад

Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок лампочки. Лампочки із заводу ${\displaystyle X}$ працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу ${\displaystyle Y}$ працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика ${\displaystyle X}$ постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки?

Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо:

${\displaystyle \operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0.6)+4000(0.4)=4600}$

де

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ — тривалість роботи лампочки;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.

Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.

Доведення для скінченних і зліченних випадків

Нехай випадкові величини ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ визначена, тобто ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$. Якщо ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ — подрібнення ймовірнісного простору ${\displaystyle \Omega }$, то

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

Якщо ряд скінченний, то можемо змінити порядок сумування й попередній вираз запишеться

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Якщо ж, з іншого боку, ряд нескінченний, то його збіжність не може бути умовною через припущення, що ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$ Ряд збіжний абсолютно якщо обидвоє, ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ і ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ - скінченні і розбіжний до нескінченності, якщо чи ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$чи ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ — нескінченне. В обидвох випадках порядок сумування можна змінити не змінюючи суми.

Доведення у загальному випадку

Нехай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ — ймовірнісний простір, з визначеними на ньому σ-алгебрами ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$. Для випадкової величини ${\displaystyle X}$ на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ - визначене, тобто ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(майже напевно)}}.}$

Доведення. Завдяки тому, що умовне матсподівання це похідна Радона – Нікодима, доведення закону згладжування зводиться до перевірки таких двох властивостей:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]}$ є ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$-вимірною
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ для всіх ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

отже інтеграл ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ визначений (не дорівнює ${\displaystyle \pm \infty }$).

Друга властивість правильна, бо з ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ випливає

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Висновок. В особливому випадку, коли ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, закон згладжування зводиться до

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Доведення формули розбиття

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle I_{A_{i}}}$ - характеристична функція множини ${\displaystyle A_{i}}$.

Якщо розбиття ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ - скінченне, то, за властивістю лінійності, попередній вираз записується у вигляді

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

що й треба було показати.

Якщо ж розбиття ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$ - нескінченне, то застосовуючи теорему про мажоровану збіжність можемо показати

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

Справді, для кожного ${\displaystyle n\geq 0}$,

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Позаяк кожен елемент множини ${\displaystyle \Omega }$ належить певному елементу подрібнення ${\displaystyle A_{i}}$, легко перевірити що послідовність ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ поточково збіжна до X. За припущенням у твердженні, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.

Див. також

• Основна теорема покеру^[en] для одного практичного застосування.
• Формула повної ймовірності
• Закон повної дисперсії
• Закон повної коваріації
• Закон сукупної кумуляції
• Розподіл добутку двох випадкових величин^[en], див. підрозділ про сподівання (застосування Закону для доведення того, що сподівання добутку це добуток сподівань)

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. (англ.) (Теорема 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)