Прогин (техніка)

Проги́н в техніці (англ. bending flexure) — вертикальне переміщення точки, що лежить на осі балки (арки, рами тощо) або на серединній поверхні оболонки (пластини), через деформацію, спричинену різними зовнішніми чинниками.

Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки на двох опорах

За величиною найбільшого прогину визначають один з граничних станів конструкції. Максимально допустимі значення прогинів для будівельних споруд різних типів наведено у Будівельних нормах і правилах. При випробуванні конструкцій прогин визначають спеціальними приладами — прогиномірами.

Аналітичне визначення прогину балки

Для аналітичного визначення прогину балки в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії

${\displaystyle w=f(x)}$.

Ступінь викривлення осі у межах пружності матеріалу балки залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі;

Е — модуль Юнга матеріалу бруса;

I_z — осьовий момент інерції перерізу бруса відносно нейтральної лінії.

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину ${\displaystyle w(x)}$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Інтегруючи рівняння, одержимо вираз, що описує прогин балки:

${\displaystyle w(x)=\int dx\int {\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}(x)}}dx+Cx+D.}$

Сталі C і D визначаються з умов закріплення балки.

Найбільший прогин балки ${\displaystyle w(x)_{max}}$ називається стрілою прогину — f.

Визначення прогинів у типових задачах

Балка на двох опорах навантажена зосередженим зусиллям посередині

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}.}$

Стріла прогину:

${\displaystyle f=w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}.}$

Консольна балка, навантажена зосередженим зусиллям на вільному кінці

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}.}$

Стріла прогину:

${\displaystyle f=w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}.}$

Консольна балка, навантажена рівномірно розподіленим зусиллям

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}.}$

Стріла прогину

${\displaystyle f=w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}.}$

Див. також

• Пружна лінія
• Деформація згину
• Балка на двох опорах

Джерела

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Шваб'юк В. І. Опір матеріалів: навч. посіб. для студентів ВНЗ / В. І. Шваб'юк. — К.: НТУ «КПІ», 2009. — 380 с.

Посилання

• Прогин // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 161. — ISBN 978-966-7407-83-4.