Образ відображення

Нехай ${\displaystyle f:X\to Y}$ — функціональне відображення множини X в множину Y.

Образом відображення (чи областю значень функції) f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:

im f = {f(x)| x∈X} = f(X)      (очевидно, що f(X)⊂Y).

Ядром відображення називається множина всіх елементів виду x∈X, для яких f(x)={0}.

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці x ∈ X при відображенні f називається такий елемент y ∈ Y, що y = f(x).

Образом підмножини А⊂X при відображенні f називається така підмножина B⊂Y, що B = {f(x)| x∈A} = f(A).

---

Прообразом елемента y∈Y називається множина всіх елементів виду f^-1(y)∈X, де f^-1(y) = {x∈X| f(x)=у}.

Прообразом підмножини B⊂Y називається множина виду f^-1(B) = {x∈X| f(x)∈B}.

Не слід плутати f^-1 з оберненим відображенням для бієктивного відображення.

Приклади

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ визначена як ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$

У цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f ⁻¹({a, b}) = {1}.

2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ визначена як ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.

У цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f ⁻¹([0,9])=[-3,3].

Властивості

З наведених визначень безпосередньо випливають такі властивості образів та прообразів для будь-яких A, A₁, A₂ з X та B, B₁, B₂ з Y:

• ${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$
• ${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$

• ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
• ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})\!}$

• ${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$

• ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\to f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$
• ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\to f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$

Див. також

• Образ та прообраз відповідності між множинами
• Образ та прообраз функції (відображення)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Шкіль М. І. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 2005. — 447 с.(укр.)