Простір петель

Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.

Означення

Нехай ${\displaystyle (X,x_{0})}$ є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай ${\displaystyle C([0,1],X)}$ є простором усіх неперервних функцій ${\displaystyle w:[0,1]\rightarrow X}$, із компактно-відкритою топологією. Простором петель ${\displaystyle (X,x_{0})}$ називається підпростір

${\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C([0,1],X)\,\mid \,w(0)=w(1)=x_{0}\}}$

з топологією підпростору.

Еквівалентно можна розглянути одиничне коло ${\displaystyle S^{1}}$ із деякою виділеною точкою ${\displaystyle s_{0}}$ і тоді задати

${\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C(S^{1},X)\,\mid \,w(s_{0})=x_{0}\}}$

Елементами простору ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ є замкнуті контури ${\displaystyle w}$ із початковою та кінцевою точкою ${\displaystyle x_{0}}$.

Простір петель ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю ${\displaystyle k:S^{1}\rightarrow X,k(t)=x_{0}}$ для всіх ${\displaystyle t\in S^{1}}$.

Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$ і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із ${\displaystyle S^{1}}$ у ${\displaystyle X}$ із компактно-відкритою топологією.

Простір петель як функтор

Якщо ${\displaystyle (X,x_{0})}$ і ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ є топологічними просторами із виділеними точками і ${\displaystyle f:(X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}$ є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель

${\displaystyle \Omega f:\Omega (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),w\mapsto f\circ w}$.

Якщо ${\displaystyle (Z,z_{0})}$ є третім топологічним простором із виділеною точкою і ${\displaystyle g:(Y,y_{0})\rightarrow (Z,z_{0})}$ є неперервним відображенням то

${\displaystyle \Omega (g\circ f)=\Omega g\circ \Omega f}$.

Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.^[1]

Гомотопії та фундаментальні групи

Гомотопією між двома петлями ${\displaystyle v,w\in \Omega (X,x_{0})}$ називається неперервне відображення

${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X}$, для якого

${\displaystyle H(s,0)=v(s)}$   для всіх ${\displaystyle s\in [0,1]}$

${\displaystyle H(s,1)=w(s)}$   для всіх ${\displaystyle s\in [0,1]}$

${\displaystyle H(0,t)=H(1,t)=x_{0}}$ для всіх ${\displaystyle t\in [0,1]}$

Можна уявити, що петлі ${\displaystyle v=H(\cdot ,0)}$ і ${\displaystyle w=H(\cdot ,1)}$ за допомогою відображення ${\displaystyle H(\cdot ,t)}$ постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі ${\displaystyle H(\cdot ,t)}$ також є петлями з виділеною точкою ${\displaystyle x_{0}}$. Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.

Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ позначається ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. Клас еквівалентності петлі ${\displaystyle w}$ позначається ${\displaystyle [w]}$ і називається класом гомотопії.

Якщо задано дві петлі ${\displaystyle v,w\in \Omega (X,x_{0})}$, для них можна дати означення добутку ${\displaystyle v*w}$, як петлі, яка спочатку пробігає петлю ${\displaystyle v}$, а потім ${\displaystyle w}$. Точніше

${\displaystyle (v*w)(t)={\begin{cases}v(2t)&t\in [0,{\textstyle {\frac {1}{2}}}]\\w(2t-1)&t\in [{\textstyle {\frac {1}{2}}},1]\end{cases}}}$.

Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ класів гомотопії: ${\displaystyle [v]*[w]:=[v*w]}$. Разом із цим добутком ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ є групою, яка називається фундаментальною групою для ${\displaystyle (X,x_{0}).}$ Нейтральним елементом цієї групи є ${\displaystyle [k]}$, клас гомотопії постійної петлі.

Зв'язок із редукованою надбудовою

За означенням редукована надбудова ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$ топологічного простору із виділеною точкою ${\displaystyle (X,x_{0})}$ є фактор-простором

${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])}$.

Нехай ${\displaystyle q:X\times [0,1]\rightarrow \Sigma (X,x_{0})}$ позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору ${\displaystyle X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1]}$ є виділеною точкою у ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$. Якщо ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення

${\displaystyle f:\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}$

одержується неперервне відображення

${\displaystyle f\circ q:X\times [0,1]\rightarrow Y}$

і також неперервне відображення

${\displaystyle {\tilde {f}}:(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),\,({\tilde {f}}(x))(t):=(f\circ q)(x,t),\quad x\in X,t\in [0,1]}$.

Оскільки образами ${\displaystyle (x,0)}$ і ${\displaystyle (x,1)}$ при відображенні ${\displaystyle q}$ є виділена точка у ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$ і ${\displaystyle f}$ є відображенням просторів із виділеною точкою, то ${\displaystyle (f\circ q)(x,0)=(f\circ q)(x,1)=y_{0}}$, тобто ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ є елементом простору петель ${\displaystyle \Omega (Y,y_{0})}$.

Таким чином існує бієктивне відображення

${\displaystyle C(\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0}))\rightarrow C((X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})),\,f\mapsto {\tilde {f}}}$.

у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори ${\displaystyle \Omega }$ і ${\displaystyle \Sigma }$ є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.

Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором ${\displaystyle S^{1}}$.

Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій ${\displaystyle \left[\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0})\right]}$ і ${\displaystyle [(X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})]}$ можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.

Важливим частковим випадком є коли ${\displaystyle (X,x_{0})=(S^{n},s_{0})}$ тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням ${\displaystyle \left[\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0})\right]}$ є гомотопічною групою ${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$, а редукована надбудова ${\displaystyle \Sigma (S^{n},s_{0})}$ є гомеоморфною гіперсфері ${\displaystyle (S^{n+1},s_{0})}$. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ ізоморфізм:

${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})\simeq \pi _{n-1}(\Omega (Y,y_{0}))}$.