Псевдогрупа перетворень

Псевдогрупа перетворень гладкого многовида ${\displaystyle M}$ — сімейство дифеоморфізмів відкритих підмножин многовида ${\displaystyle M}$ у ${\displaystyle M}$, замкнуте відносно композиції відображень, переходу до оберненого відображення, а також звуження та склейки відображень.

Точне означення

Псевдогрупа перетворень ${\displaystyle \Gamma }$ многовида ${\displaystyle M}$ складається з локальних перетворень, тобто пар виду ${\displaystyle p=(D_{p},{\bar {p}})}$, де ${\displaystyle D_{p}}$ — відкрита підмножина в ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle {\bar {p}}}$ — дифеоморфізм ${\displaystyle D_{p}\to M}$, причому передбачається, що

1. ${\displaystyle p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q}}^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q}}(D_{q})),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma }$
2. ${\displaystyle p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma }$
3. ${\displaystyle (M,id)\in \Gamma }$,
4. якщо ${\displaystyle p}$ — дифеоморфізм відкритої підмножини ${\displaystyle D}$ у ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }}$, де ${\displaystyle D_{\alpha }}$ — відкриті підмножини в ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle (D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma }$ для будь-якого ${\displaystyle \alpha }$.

Приклади

• Довільна гладка дія групи на многовиді.
• Нехай ${\displaystyle M}$ гладкий многовид і на якому гладко діє група ${\displaystyle G}$ тоді «звуження» дії на довільну відкриту множину ${\displaystyle \Omega }$ є псевдогрупою перетворень. Точніше ${\displaystyle p=(D_{p},{\bar {p}})}$ міститься в псевдогрупі якщо ${\displaystyle {\bar {p}}\in G}$ і ${\displaystyle D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega }$.

Зв'язані означення

Так само, як група перетворень, псевдогрупа перетворень визначає на ${\displaystyle M}$ відношення еквівалентності; класи еквівалентності називаються її орбітами.

Типи псевдогруп

Псевдогрупа перетворень ${\displaystyle \Gamma }$ многовида ${\displaystyle M}$ називається

• транзитивною, якщо ${\displaystyle M}$ — її єдина орбіта,
• примітивною, якщо у ${\displaystyle M}$ немає нетривіальних гладких ${\displaystyle \Gamma }$-інваріантних шарувань (в іншому випадку псевдогрупа перетворень називається імпримітивною).

Варіації та узагальнення

Видозмінюючи належним чином це означення, можна означити псевдогруппу перетворень довільного топологічного простору або навіть довільної множини.

Література

• Виноградов И. М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730–732.