П'ятикомірник

П'ятикомірник^[1], або пентахор^[2] (від дав.-гр. πέντε — «п'ять» і χώρος — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.

П'ятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{3,3,3}
Комірок	5
Граней	10
Ребер	10
Вершин	5
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	Він же (самодвоїстий)

Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір

Стереографічна проєкція п'ятикомірника

Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років^[3]. Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.

Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників, не має центральної симетрії.

Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем^[4].

Опис

Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75{,}52^{\circ }.}$

Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.

Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.

П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.

У координатах

Перший спосіб розташування

П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати ${\displaystyle (1;1;1;0),}$ ${\displaystyle (1;-1;-1;0),}$ ${\displaystyle (-1;1;-1;0),}$ ${\displaystyle (-1;-1;1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;{\sqrt {5}}).}$

При цьому точка ${\displaystyle \left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)}$ буде центром вписаної, описаної і піввписаної тривимірних гіперсфер.

Другий спосіб розташування

У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати: ${\displaystyle (1;0;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;1;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;1;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;0;1).}$

Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка ${\displaystyle \left({\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}}\right).}$.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо п'ятикомірник має ребро довжини ${\displaystyle a,}$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

${\displaystyle V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.}$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0{,}6324555a,}$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0{,}3872983a,}$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0{,}2581989a,}$

радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0{,}1581139a.}$

Неправильні п'ятикомірники

Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс.