Символ Шлефлі

Символ Шлефлі (англ. Schläfli symbol) — топологічна характеристика многогранника. У математиці символ Шлефлі застосовується для опису правильних багатокутників, правильних многогранників, і n-многогранників.

Додекаедр - правильний багатогранник з символом Шлефлі {5,3}, який має по три п'ятикутники біля кожної вершини.

Символ Шлефлі названий на честь математика XIX століття Людвіга Шлефлі, який зробив значний внесок у геометрію та інші галузі.

Побудова

Символ Шлефлі правильного багатокутника {p}, де p — число сторін багатокутника. Отже, {3} — правильний трикутник, {4} — квадрат. Для правильних зірок число Шлефлі задається як {p/q}, де p — число сторін, а кожна q-та вершина суміжна. Слід зауважити, що p і q будуть взаємно простими числами. Наприклад, {5/2} — пентаграма.

Символ Шлефлі позначається у вигляді {p, q, r, … }. Символ Шлефлі правильного многогранника визначається по індукції таким чином. Визначимо p як число сторін 2-вимірної грані. Зафіксуємо тепер якусь вершину P многогранника Γ і розглянемо всі вершини Γ, з'єднані з нею ребром. Всі ці вершини лежать в одній гіперплощині H (ортогональної до осі, що з'єднує центр многогранника з вершиною P) і перетин Γ ∩ H многогранника Γ гіперплощиною H являє собою правильний многогранник на 1 меншої розмірності. Оскільки всі вершини Γ рівноправні, то тип цього многогранника не залежить від вибору вершини P. Визначимо тепер q як число сторін 2-вимірної грані многогранника Γ ∩ H. Продовжуючи діяти таким чином доти, поки отримуваний перетин має двовимірну грань, ми отримаємо символ Шлефлі Γ. Таким чином, символ Шлефлі n-вимірного многогранника складається з n-1 цілих чисел ≥ 3.

Можливе інше визначення для 3-вимірних многогранників: многогранник, який має q p-сторонніх граней при вершині представляється як {p, q}. Наприклад, куб має 3 квадрати при вершині і представляється як {4,3}.

Правильний 4-вимірний політоп (4-многогранник) з r правильними {p, q}-багатогранними комірками при ребрі представляється як {p, q,r}. І далі застосовуємо індукцію для більшої кількості вимірів.

Приклади

Розмірність простору	Символ Шлефлі	Многогранник
3	{3,3}	Тетраедр
3	{4,3}	Куб
3	{3,4}	Октаедр
3	{3,5}	Ікосаедр
3	{5,3}	Додекаедр
4	{3,3,3}	5-комірник (4-симплекс)
4	{4,3,3}	8-комірник (4-куб)
4	{3,3,4}	16-комірник
4	{3,4,3}	24-комірник
4	{5,3,3}	120-комірник
4	{3,3,5}	600-комірник
≥ 5	{3, …, 3}	n-симплекс
≥ 5	{3, …, 3,4}	Гіпероктаедр
≥ 5	{4,3, …, 3}	Гіперкуб

Див. також

• Характеристика Ейлера
• Правильні многогранники

Посилання

• Weisstein, Eric W. Символ Шлефлі(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Микола Вавилов Конкретна теорія груп First draught(рос.)