Пірамідне число

Пірамідне число — просторовий різновид фігурних чисел, що представляє піраміду з багатокутною основою та заданим числом трикутних бічних сторін. Вже античні математики досліджували тетраедричні та квадратні пірамідні числа, для яких в основі лежать правильний трикутник і квадрат відповідно. Нескладно визначити числа, пов'язані з пірамідами, в основі яких лежить будь-який інший многокутник, наприклад:

Геометричне подання квадратного пірамідного числа: ${\displaystyle \Pi _{4}^{(4)}=1+4+9+16=30}$.

Визначення

Пірамідні числа визначають так:

${\displaystyle n}$-е за порядком ${\displaystyle k}$-кутне пірамідне число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ є сумою перших ${\displaystyle n}$ плоских фігурних чисел ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ з тим самим числом кутів ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}}$

Геометрично пірамідне число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ можна подати як піраміду з ${\displaystyle n}$ шарів (див. малюнок), кожен з яких містить від 1 (верхній шар) до ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ (нижня) куль.

За індукцією неважко довести загальну формулу для пірамідного числа, відому ще Архімеду^[1]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}}$

Праву частину цієї формули можна виразити через плоскі багатокутні числа:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}$