Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду:

Якщо для числового ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ з невід'ємними членами існує таке число ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle 0<d<1}$, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<d}$ то даний ряд збіжний.

Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821)^[1].

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test", опускаючі ім'я автора.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному ^[2]:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1}$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

Якщо для ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ (a_{n}\geq \;0)\ \exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l\;}$, то якщо ${\displaystyle l<1}$ ряд збігається, якщо ${\displaystyle l>1}$ ряд розбігається.

Доведення

1. Нехай ${\displaystyle l<1}$. Очевидно, що існує таке ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що ${\displaystyle l+\varepsilon <1}$. Оскільки існує границя ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l}$, то підставивши в означення границі вибране ${\displaystyle \varepsilon }$ одержимо:

${\displaystyle \vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon }$

Розкривши модуль, одержимо:

${\displaystyle -\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon }$

${\displaystyle l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon }$

${\displaystyle (l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}}$

Оскільки ${\displaystyle l+\varepsilon <1}$, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(l+\varepsilon )^{n}}$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ теж збігається.

2. Нехай ${\displaystyle l>1}$. Очевидно, що існує таке ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що ${\displaystyle l-\varepsilon >1}$. Оскільки існує границя ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l}$, то підставивши в означення границі вибране ${\displaystyle \varepsilon }$ одержимо:

${\displaystyle \vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon }$

Розкривши модуль, одержимо:

${\displaystyle -\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon }$

${\displaystyle l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon }$

${\displaystyle (l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}}$

Оскільки ${\displaystyle l-\varepsilon >1}$, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(l-\varepsilon )^{n}}$ розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ теж розбіжний.

Приклади

1. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}}$

2. Розглянемо ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n(n-1)}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n-1}=\lim _{n\to \infty }{(1-{\frac {2}{n+1}})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow }$ряд збіжний

Див. також

• Ознака д'Аламбера

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)