Реп'юніти

Реп’юніти (англ. repunit, від repeated unit — одиниця що повторюється) — натуральні числа ${\displaystyle R(b,n)}$, запис яких в системі числення з основою ${\displaystyle b>1}$ складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються  : ${\displaystyle R_{n}}$: ${\displaystyle R_{1}=1}$, ${\displaystyle R_{2}=11}$, ${\displaystyle R_{3}=111}$ , і т. д.,і загальний вигляд для них: ${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }$ Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.

Факторизація десяткових реп’юнітів

(Прості числа в факторизаціях, пофарбовані в коричневий колір означають нові прості числа в факторизаціях R_n,, які не ділить R_k для всіх k < n)

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Властивості

• Відомо тільки 9 простих реп’юнітів ${\displaystyle R_{n}}$ для n, рівних:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343

При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.

Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.

• В результаті множення ${\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}$ при ${\displaystyle 9\geq i\geq j}$ виходить паліндромічне число ${\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}$ з ${\displaystyle i+j-1}$ цифр с цифрой ${\displaystyle j}$ посередині.
• Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є самовиродженим числом.
• Будь-яке додатнє кратне реп’юніта ${\displaystyle R_{n}}$ містить не менше n ненульових цифр.
• Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число 1111 можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: ${\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}$. Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.

}}

Література

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.
• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М. : АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.