Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді ${\displaystyle \ A=LL^{T},}$ де ${\displaystyle \ L}$ — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо ${\displaystyle \ A}$ — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад ${\displaystyle \ A=LL^{*}.}$

Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького^[en] (1875-1918).

Алгоритм

Елементи матриці ${\displaystyle \ L}$ можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

${\displaystyle L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}^{2}}}}$

${\displaystyle L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}\right)}$, якщо ${\displaystyle \ j<i}$.

Вираз під коренем завжди додатній, якщо ${\displaystyle A}$ — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

${\displaystyle L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}L_{i,k}^{*}}}}$

${\displaystyle L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}^{*}\right)}$, якщо ${\displaystyle \ j<i}$.

LDL-розклад

Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:

${\displaystyle \ A=LDL^{T}}$

де ${\displaystyle \ L}$ — одинична нижня трикутна матриця; ${\displaystyle \ D}$ — діагональна матриця.

${\displaystyle D_{j}=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{jk}^{2}D_{k}}$

${\displaystyle L_{ij}={\frac {1}{D_{j}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}D_{k}\right)}$, якщо ${\displaystyle \ j<i}$.

Застосування

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь ${\displaystyle Ax=b}$ з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад ${\displaystyle A=LL^{T}}$, розв'язок ${\displaystyle x}$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: ${\displaystyle Ly=b}$ та ${\displaystyle L^{T}x=y}$. Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)