Рівностепенева неперервність

Не плутати з Рівномірна неперервність.

Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.

Означення

Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність

Нехай

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}(x):X\rightarrow \mathbb {R} ,i\in I\},}$

деяка сім'я неперервних функцій, де ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ — деяка підмножина дійсної осі, ${\displaystyle I}$ — множина індексів.

Множина функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівностепенево неперервна в точці ${\displaystyle x_{0}\in X}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad |x-x_{0}|<\delta }$

${\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x)-f_{i}(x_{0})|<\varepsilon .}$

Множина функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з ${\displaystyle X}$. Іншими словами, для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться таке ${\displaystyle \delta >0}$, яке залежить від ${\displaystyle \varepsilon }$ та ${\displaystyle x_{0}}$, що для довільних ${\displaystyle x\in X}$ таких, що ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ випливає, що нерівність ${\displaystyle |f_{i}(x)-f_{i}(x_{0})|<\varepsilon }$ виконується одночасно для всіх функцій з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Множина функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad |x_{1}-x_{2}|<\delta }$

${\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x_{1})-f_{i}(x_{2})|<\varepsilon .}$

Іншими словами, для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться таке ${\displaystyle \delta >0}$, яке залежить тільки від ${\displaystyle \varepsilon }$, що для довільних ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ таких, що ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ випливає, що нерівність ${\displaystyle |f_{i}(x_{1})-f_{i}(x_{2})|<\varepsilon }$ виконується одночасно для всіх функцій з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір ${\displaystyle \delta }$ залежить і від ${\displaystyle x_{0}}$, і від ${\displaystyle \varepsilon }$. У випадку рівномірної рівностепенової неперервності ${\displaystyle \delta }$ залежить тільки від ${\displaystyle \varepsilon }$. Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.

Метричний простір

Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів ^[1]

Нехай ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ — метричні простори і ${\displaystyle C(X,\;Y)}$ — множина всіх неперервних відображень з ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Підмножина відображень ${\displaystyle D\subset C(X,\;Y)}$ — рівностепенево неперервна в точці ${\displaystyle x_{0}\in X}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad d_{X}(x,x_{0})<\delta }$

${\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon .}$

Множина ${\displaystyle D}$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з ${\displaystyle X}$.

Підмножина відображень ${\displaystyle D\subset C(X,\;Y)}$ називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$

${\displaystyle \qquad \forall f\in C(X,\;Y),\quad d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .}$

Більш загально, якщо ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, то множина ${\displaystyle F}$ відображень з ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ називається рівностепенево неперервною в точці ${\displaystyle x_{0}\in X}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists U_{x_{0}}\quad \forall x\in U_{x_{0}}\quad \forall f\in F,\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon ,}$

де ${\displaystyle U_{x_{0}}}$ позначає деякий окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle X}$ — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
• Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
• Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
• Нехай ${\displaystyle \{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} }$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій і ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$ поточково для довільного ${\displaystyle x}$, тоді ${\displaystyle f(x)}$ — неперервна ^[2].

• Нехай ${\displaystyle \{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} }$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій з ${\displaystyle (X,d_{X})}$ в повний метричний простір ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ і ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ для всіх ${\displaystyle x}$ з деякої щільної в ${\displaystyle X}$ підмножини, тоді ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in X}$.

• Нехай ${\displaystyle X}$ — компактний простір і ${\displaystyle \{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} }$ — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ поточково для довільного ${\displaystyle x\in X}$, тоді ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$ рівномірно.

• Згідно узагальненої теореми Арцела якщо ${\displaystyle X,Y}$ — компактні простори, то підмножина ${\displaystyle D\subset C(X,\;Y)}$ компактна в ${\displaystyle C(X,\;Y)}$ як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою ${\displaystyle \rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x)),\,\,f,g\in C(X,\;Y),}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle D}$ рівностепенево неперервна.

Приклади

• Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
• Нехай ${\displaystyle F(x,y)}$ — неперервна на ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ функція. Розглянемо відображення ${\displaystyle G:C[a,b]\rightarrow C[a,b]}$, яке задається формулою

${\displaystyle (G\cdot f)(x)=\int _{a}^{b}F(x,y)f(y)dy.}$

Тоді множина ${\displaystyle \{G\cdot f\mid \sup \nolimits _{y\in [a,b]}|f(y)|\leqslant 1\}}$ рівностепенево неперервна ^[3].

Узагальнення

Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі ${\displaystyle X}$ вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку ${\displaystyle X\times X}$ наділена певними властивостями).

Див. також

• Неперервна функція
• Рівномірна неперервність
• Теорема Асколі — Арцела