Рівняння Баркера

Рівняння Баркера — рівняння, в неявному вигляді, що визначає залежність між положенням небесного тіла (істинною аномалією) і часом, під час руху параболічною орбітою^[1]. Це рівняння широко застосовувалося під час вивчення орбіт комет^[2], орбіти яких мають ексцентриситет близький до одиниці. Нині це рівняння знаходить застосування в астродинаміці^[2]

Задача, що приводить до рівняння Баркера

Розв'язок задачі двох тіл дає рівняння траєкторії в полярних координатах у вигляді

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta }}}$

де ${\displaystyle p}$ — параметр орбіти; ${\displaystyle e}$ — ексцентриситет орбіти; ${\displaystyle \vartheta }$ — справжня аномалія-кут між радіус-вектором поточного положення тіла і напрямком на перицентр. З іншого боку, справедливий другий закон Кеплера

${\displaystyle r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c}$

де ${\displaystyle c}$ — константа площ. Виходячи з цих рівнянь легко отримати інтеграл, що зв'язує час і справжню аномалію в точках ${\displaystyle A_{0}}$ і ${\displaystyle A_{1}}$ орбіти.

${\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2}}}}$

До виведення рівняння Кеплера і рівняння Баркера

Спосіб обчислення цього інтеграла залежить від величини ексцентриситету (див. рівняння Кеплера). Для параболічної траєкторії ${\displaystyle e=1}$, в цьому випадку приходимо до тривіального ланцюжка перетворень

${\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right)^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]}$

Враховуючи, що параметр орбіти пов'язаний з константою площ

${\displaystyle p={\frac {c^{2}}{\mu }}}$

де ${\displaystyle \mu }$ — гравітаційний параметр центрального тіла, а константа площ, у разі параболічного руху

${\displaystyle c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi }}}}}$

де ${\displaystyle r_{\pi }}$ — відстань до перицентра; ${\displaystyle v_{\pi }}$ — швидкість у перицентрі, яка під час руху по параболі є параболічною швидкістю. Тоді, отримуємо для параметра орбіти ${\displaystyle p=2\,r_{\pi }}$ і приходимо до остаточного виразу

${\displaystyle t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]}$

Тепер приймемо, що початкова точка траєкторії п ерицентр, значить ${\displaystyle \vartheta _{0}=0}$ і перетворимо отриману залежність до видгляу

${\displaystyle n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}}$

де ${\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3}}}}}$ — середній рух небесного тіла. У підсумку, отримуємо кубічне рівняння вигляду

${\displaystyle S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0}$

де ${\displaystyle S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}}$, ${\displaystyle M=n\,\left(t-t_{0}\right)}$ — середня аномалія орбіти небесного тіла. Це рівняння називають рівнянням Баркера.

Рівняння описує неявну залежність істинної аномалії від часу ${\displaystyle \vartheta (t)}$ під час руху небесного тіла параболічною траєкторією.

Розв'язок рівняння Баркера

Рівняння

${\displaystyle S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0}$

є кубічним рівнянням, записаним у канонічній формі Кардано і має аналітичний розв'язок. Засобами комп'ютерної алгебри легко отримати цей розв'язок, що містить один дійсний і два комплексно-спряжених корені

${\displaystyle S_{1}=x-{\frac {1}{x}},\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2\,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)}$

де ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}}}}}$

Фізичному змісту задачі відповідає тільки дійсний корінь, тому можна записати

${\displaystyle S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}}$

Маючи цей корінь, можна обчислити синус і косинус істинної аномалії

${\displaystyle \cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+S^{2}}}\quad }$

за якими, з урахуванням їхнього знака, визначається справжня аномалія ${\displaystyle \vartheta \in [0,\,2\,\pi )}$

Див. також

• Рівняння Кеплера
• Закони Кеплера
• Задача двох тіл