Рівняння Гельмгольца

Рівняння Гельмгольца — диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:

${\displaystyle \Delta F+k^{2}F=0\,}$,

де ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$ — невідома функція, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, k — параметр.

Зв'язок із хвильовим рівнянням

Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:

${\displaystyle \Delta \Phi -{\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0}$,

якщо його розв'язок шукати у вигляді:

${\displaystyle \Phi =F(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$.

При цьому

${\displaystyle k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{s^{2}}}}$.

Розв'язки

Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.

Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:

${\displaystyle F=F_{0}e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }}$,

де ${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}=k^{2}}$.

Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:

${\displaystyle F=\sum _{n}(a_{n}J_{n}(k\rho )+b_{n}Y_{n}(k\rho ))e^{in\varphi }}$.

Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя:

${\displaystyle F=\sum _{lm}(a_{lm}j_{l}(kr)+b_{lm}n_{l}(kr))Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$.