Хвильове рівняння

Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння
Першовідкривач або винахідник	Жан Лерон д'Аламбер
Формула	${\displaystyle \Box _{c}u=0}$
Позначення у формулі	${\displaystyle \square }$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Хвильове рівняння у Вікісховищі

Хвильове рівняння є зазвичай рівнянням другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0,}$

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Розв'язки

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

${\displaystyle u=u_{0}\cos(kx-\omega t-\varphi ),}$

де ${\displaystyle u_{0}}$ — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота, ${\displaystyle \varphi }$ — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

${\displaystyle k={\frac {\omega }{s}}}$

Інші типи хвильових рівнянь

Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.

Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.

У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Wolfram Demonstrations Project.
• Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki
• Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308