Рівняння Мещерського

Рівняння Мещерського — рівняння Івана Мещерського, що визначає прискорення тіла зі змінною масою й описує рух.

Ракета втрачає значну частину маси під час польоту і є прикладом тіла зі змінною масою

При русі турбо-реактивного літака його двигуни вбирають повітря для спалювання палива й викидають із великою швидкістю гази, що утворилися при спалюванні. Таким чином, маса літака неперервно збільшується за рахунок увібраного повітря й неперервно зменшується за рахунок викинутих із сопла газів. Прискорення, яке отримує тіло з врахуванням збільшення й зменшення маси описується рівнянням Мещерського

${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=F-{\frac {dm_{1}}{dt}}u_{1}-{\frac {dm_{2}}{dt}}u_{2}}$,

де m — маса тіла в певний момент часу, v — її швидкість, F — зовнішня сила (наприклад, сила тяжіння), ${\displaystyle m_{1}}$ — відкинута з відносною швидкістю ${\displaystyle u_{1}}$ маса, ${\displaystyle m_{2}}$ — приєднана маса з відносною швидкістю ${\displaystyle u_{2}}$.

Вираз ${\displaystyle -{\frac {dm_{1}}{dt}}u_{1}-{\frac {dm_{2}}{dt}}u_{2}}$ називається реактивною силою.

Повітряно-реактивний рух

При русі літака в повітрі рівняння Мещерського зводиться до

${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=F+{\frac {dm_{2}}{dt}}(u_{1}-u_{2})}$,

де ${\displaystyle dm_{2}/dt}$ задає, скільки повітря літак набирає в двигуни за одиницю часу. Реактивна сила штовхатиме літак вперед у тому випадку, коли швидкість викидання газів перевищує швидкість літака.

Зліт ракети

При зльоті ракети вертикально вгору їй потрібно подолати земне тяжіння. Використовуючи рівняння Мещерського можна отримати залежність швидкості ракети від часу

${\displaystyle v=v_{0}-gt+u_{1}{\text{ln}}\,{\frac {m_{0}}{m}}}$,

де ${\displaystyle v_{0}}$ — початкова швидкість ракети, ${\displaystyle u_{1}}$ — швидкість викидання газів, g — прискорення вільного падіння, ${\displaystyle m_{0}}$ — початкова маса ракети, m — маса ракети в момент часу t.

Див. також

• Формула Ціолковського

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.